Метод вариации производных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (5.1). Его общим решением является функция (5.3), т. е. Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Частное решение Метод вариации производных постоянных - student2.ru уравнения (5.1) можно найти, если известно общее решение Метод вариации производных постоянных - student2.ru соответствующего однородного уравнения (5.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть Метод вариации производных постоянных - student2.ru общее решение уравнения (5.2).Заменим в общем решении постоянные c1 и с2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

была решением уравнения (5.1). Найдем производную

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Тогда

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Подставляя выражение для Метод вариации производных постоянных - student2.ru в уравнение (5.1), получим:

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

или

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Поскольку y1(x) и у2(х) - решения уравнения (5.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Таким образом, функция (5.6) будет частным решением у* уравнения (5.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (5.7) и (5.8):

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Определитель системытак как это определитель Вронского для фундаментальной Метод вариации производных постоянных - student2.ru системы частных решений у1 (х) и у2 (х) уравнения (5.2). Поэтому система (5.9) имеет единственное решение: с'1(х)= j1(x) и с'2(х)=j2(х), где j1(x) и j2(х) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим c1(x) и с2(х), а затем по формуле (5.6) составляем частное решение уравнения (5.1).

Пример 5.1. Найти общее решение уравнения Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Решение: Найдем общее решение Метод вариации производных постоянных - student2.ru соответствующего однородного уравнения Метод вариации производных постоянных - student2.ru Имеем:Следовательно, Метод вариации производных постоянных - student2.ru Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Найдем теперь частное решение у* исходногоуравнения. Оно ищется в виде (5.6): Метод вариации производных постоянных - student2.ru Для нахождения с1(х) и с2(х) составляем систему уравнений вида (5.9): Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Решаем ее: Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Запишем частное решение данного уравнения: Метод вариации производных постоянных - student2.ru Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид Метод вариации производных постоянных - student2.ru

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема 5.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму двух функций: Метод вариации производных постоянных - student2.ru - частные решения уравнений Метод вариации производных постоянных - student2.ru соответственно, то функция у*=y*1+y*2 является решением данного уравнения.

Действительно, Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Неоднородные линейные уравнения высших порядков


Системы ду. Нормальная система

Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Метод вариации производных постоянных - student2.ru (1.1)

где Метод вариации производных постоянных - student2.ru , Метод вариации производных постоянных - student2.ru – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; Метод вариации производных постоянных - student2.ru , Метод вариации производных постоянных - student2.ru – известные функции от Метод вариации производных постоянных - student2.ru , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка (n=2).

Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений

Метод вариации производных постоянных - student2.ru (1.2)

где Метод вариации производных постоянных - student2.ru и Метод вариации производных постоянных - student2.ru – заданные и непрерывные в некоторой области функции. Пара функции (y(x); z(x)), определенная на (a,b), имеющая непрерывные производные и удовлетворяющая на (a,b) обоим уравнениям системы (1.2), называется ее решением.

Задача нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего начальным условиям Метод вариации производных постоянных - student2.ru , где Метод вариации производных постоянных - student2.ru – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Геометрический смысл решения системы ДУ


Интегрирование систем ДУ

Системы дифференциальных уравнений n–го порядка можно решать сведением к уравнению n–го порядка. Такой метод решения систем называетсяметодом исключения.

Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Исключим функцию y2. Для этого сначала выразим y2 через x и y1 из первого уравнения системы , затем продифференцируем по x первое уравнение системы, заменяя y2 полученным для него выражением, а производную y2 − правой частью второго уравнения системы:

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка

Метод вариации производных постоянных - student2.ru

Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n–го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y2, ..., yn и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n–го порядка относительно y1.


Наши рекомендации