Вопрос 7 Матрицы и действия с ними.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Данная матрица состоит из шести элементов:
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru
Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru
и три столбца:
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru или одна строка Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru . По существу, координаты точки Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru и Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru – умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru
Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru – транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Пример:

Сложить матрицы Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru и Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:

Найти разность матриц Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru , Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru :

Вопрос 7 Матрицы и действия с ними. - student2.ru

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Наши рекомендации