Круги Эйлера. Алгебра множеств.

Для наглядного изображения соотношений между подмножествами некоторого универсального множества U используются круги Эйлера. Множество U обычно представляется множеством точек прямоугольника, а его подмножества изображаются кругами или другими простыми областями внутри этого прямоугольника. Непересекающиеся множества изображаются непересекающимися областями, а подмножествам соответствуют области, целиком располагающиеся внутри другой области. Дополнение множества А (до U), т.е. множество , изображается той частью прямоугольника, которая вне круга, изображающего .

Рассмотрим операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

U

A ÇB A ÈB

Пусть А, В, СÎU, тогда имеют место следующие соотношения:

1a AÈB=BÈA	1b AÇB=BÇA (коммутативность)
2a AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC	2b AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC (ассоциативность)
3a AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC)	3b AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(BÈC) (дистрибутивность)

Законы поглощения:

4a (AÇB)ÈB=B	4b (AÈB)ÇB=B
5a (AÇ )ÈB=B	5b (AÈ )ÇB=B

Дополнительные свойства:

1a =U	1b =
2a AÈ =A	2b AÇU=A
3a AÈ =U	3b AÇ =
4a = Ç	4b = È

Мощность множества.

Конечные множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Для сравнения по насыщенности бесконечных множеств используется принцип сравнения. Между множеством точек гипотенузы прямоугольного треугольника и множеством точек катета можно установить соответствие таким образом, что каждой точке гипотенузы будет соответствовать точка катета и при этом разным точкам гипотенузы соответствуют разные точки катета. Соответствие устанавливается с помощью прямой, проведенной параллельно другому катету через взятую на гипотенузе точку М.

Определение. Говорят, что между элементами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, по которому каждому элементу аÎА сопоставлен один элемент вÎВ, называемый образом а, причем выполнены следующие два условия: 1) любые два различные элемента из А имеют различные образы; 2) каждый элемент из В является образом некоторого элемента из А.

Определение. Два множества А и В называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается А ~ В), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Примеры эквивалентных бесконечных множеств:

1. Множество N всех натуральных чисел и множество N₁ всех целых отрицательных чисел эквивалентны: nÎN, -nÎN₁, N~N₁

2. Множество N эквивалентно множеству P положительных четных чисел:

nÎN, 2nÎP, N~P.

3. Множество действительных чисел и множество чисел интервала G=( ; - )

эквивалентны между собой. Эквивалентность этих множеств легко проверить с помощью соответствия у=tgx (xÎG,yÎR).

4. Любые два отрезка эквивалентны между собой. Взаимно однозначное соответствие между точками отрезков ОА и ОВ устанавливается с помощью прямых,

проводимых параллельно отрезку АВ. Способ установления взаимно однозначного соответствия между элементами (точками) показан на рисунке.

Два множества, порознь эквивалентные третьему, эквивалентны между собой: Если А~B и B~C, то А~B. Поэтому любой отрезок эквивалентен, например, отрезку [0;1].

Множества, эквивалентные множеству всех вещественных чисел из отрезка [0;1] называют множеством мощности континуум (сокращенно мощности С). Значит, множество чисел любого числового отрезка имеет мощность С. В частности, множество всех вещественных чисел R~( ; - )~[0;1] имеет мощность С.