Решение системы с помощью обратной матрицы

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Решение: Запишем систему в матричной форме:
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru , где Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru .

Я не буду приводить вывод этой формулы, так как его практически никогда не требуют в оформлении данной задачи. Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru и выполнить матричное умножение Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru , где Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru .

Сначала разбираемся с определителем:

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! ЕслиРешение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru – матрица миноров соответствующих элементов матрицы Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru .

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru – матрица алгебраических дополнений.

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Ни в коем случае не вносимРешение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления.Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на урокеДействия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ: Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Пример 12

Решить систему с помощью обратной матрицы.
Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 3: Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Пример 6: Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Пример 8: Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru , Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12: Решение системы с помощью обратной матрицы - student2.ru

Полное решение примеров 8, 10, 12 >>>

Наши рекомендации