Формула корней квадратного уравнения.

О. Уравнение вида Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , где Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – переменная Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru называется квадратным.

О. Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

О. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru или Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru равен Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , называется неполным квадратным уравнением

Выведем формулу корней квадратного уравнения в общем случае:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Поделим обе части уравнения на Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . При этом корни уравнения не изменятся (почему?).

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Выделим полный квадрат:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

О. Выражение: Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru называется дискриминантом квадратного уравнения, и обозначается через Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , тогда уравнение можно записать так:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Возможны следующие 3 случая:

1.Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то из дискриминанта можно извлечь корень (почему?), тогда получаем решения уравнения:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru или Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

То есть

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru или Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru или Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Эти две формулы можно объединить в следующую:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru - эта формула называется формулой корней квадратного уравнения

2.Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru примет вид:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

В этом случае уравнение имеет один корень.

Замечание: можно также сказать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два совпадающих корня.

3.Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то значение дроби Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , поэтому уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , а значит и уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru не имеет корней (почему?).

Таким образом,

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru имеет 2 различных корня: Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru имеет 2 совпадающих корня: Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru корней не имеет.

Теорема Виета.

Пусть дано уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – корни уравнения, тогда

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Пусть уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru имеет 2 различных корня ( Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru ):

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Итак, действительно Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Замечание: Если рассмотреть приведенное квадратное уравнение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то формулы Виета будут выглядеть так: Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

В школьном курсе математики чаще всего формулы Виета применяются именно для приведенного квадратного уравнения.

Имеет место теорема, обратная теореме Виета:

Если числа Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru таковы, что Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

То эти числа являются корнями уравнения Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Значит, числа Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru действительно являются корнями уравнения Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Замечание: теорема, обратная теореме Виета, позволяет составлять квадратные уравнения по его корням.

Например, если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , тогда эти числа являются корнями уравнения Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

16. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

О. Многочлен вида: Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , где Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – переменная Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru называется квадратным трехчленом.

О.Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при которой значение этого трехчлена равно нулю.

Теорема.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – корни квадратного трёхчлена Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Вынесем за скобки в многочлене Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru множитель а.Получим: Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Так как корни квадратного трёхчлена Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru являются корнями квадратного уравнения Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то, по теореме Виета, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Поэтому

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Итак, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Если квадратный трёхчлен имеет один корень (два совпадающих корня), то формула Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru примет вид Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , где Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru - корень квадратного трёхчлена.

Заметим, что если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

17. Формулы сокращенного умножения.

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

( Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru ,т.к. по определению произведения многочленов, операции над многочленами обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.) Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Пусть Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , рассмотрим произведение

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство:

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

18. Свойства числовых неравенств.

О. Число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru больше числа Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , если разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – положительное число; число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru меньше числа Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , если разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательное число.

Теорема 1.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru ; если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Доказательство.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то по определению разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – положительное число, тогда разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru - отрицательное число, а это значит, по определению, что Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . И наоборот. Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Теорема 2.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Доказательство.

По условию Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , значит, по определению разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательное число и разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательное число. Сумма отрицательных чисел – число отрицательное, поэтому сумма Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательна. Преобразуем эту сумму Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Следовательно, разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательна и, по определению, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Теорема 3.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – любое число, то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Доказательство.

Преобразуем разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . По условию, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , поэтому Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательное число. Значит, и разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru - отрицательна. Следовательно, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Теорема 4.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – положительное число, то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru ,

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательное число, то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru ,

Доказательство.

Преобразуем разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Так как Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то разность Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательное число. Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то произведение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – отрицательно, и, следовательно, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то произведение Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – положительно, и, следовательно, Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Следствие.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – положительные числа и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Доказательство.

Разделим обе части неравенства Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru на положительное число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru : Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Сократив дробь, получим, что Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , т.е. Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Теорема 5.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Доказательство.

Прибавим к обеим частям неравенства Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , получим Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Прибавим к обеим частям неравенства Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , получим Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Из неравенств Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru ,и теоремы 2 следует, что Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Теорема 6.

Если Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , где Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru – положительные числа, то Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Доказательство.

Умножим обе части неравенства Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru на положительное число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , получим неравенство Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru .

Умножим обе части неравенства Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru на положительное число Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru , получим неравенство Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Из неравенств Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и теоремы 2 следует, что Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru . Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

19. Свойства числовых равенств.

Числовым равенством называется числовое выражение, содержащее знак Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

Свойство 1.

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

(если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получится также верное числовое равенство)

Свойство 2.

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

(если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое с противоположным знаком, то получится также верное числовое равенство)

Свойство 3.

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

(если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число, то получится также верное числовое равенство)

Свойство 4.

Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru

(если обе части верного числового равенства возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится также верное числовое равенство)

20. Метод интервалов

О.Метод интервалов – метод решения рациональных неравенств.

Этот метод основан на следующей теореме математического анализа

(теореме Больцано-Коши), которую мы рассмотрим без доказательства:

Пусть функция Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru на отрезке Формула корней квадратного уравнения. - student2.ru и на концах его принимает разные по знаку значения,

Наши рекомендации