Наибольшее/наименьшее значение функции
, то функция не имеет наибольшего и наименьшего значения
График функции.
О. Графиком кубической функции является кривая, называемая кубическойпараболой (рис.4).
6. Свойства функции и её график
Рассмотрим функцию вида: .
Свойства:
1. Область определения функции:
(по свойствам квадратного корня) (см. § 28)
2. Множество значений функции:
(почему?)
3. Периодичность:
Если , то , значит функция не определена в точке , а значит, функция не является периодической.
Чётность/нечётность
Если , то , значит, функция не определена в точке , а, значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
Точки пересечения графика с осями координат.
Точки пересечения с осью : если
Точки пересечения с осью
6. Промежутки знакопостоянства функции:
Интервалы возрастания/убывания
возрастает на всей области определения
8. Наибольшее/наименьшее значение функции
- не существует.
График функции
(рис 11).
7. Свойства функции и её график
Рассмотрим окружность с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице (это так называемая тригонометрическая окружность).
Для любогодействительного числа можно провести радиус ON этой окружности, образующий с осью угол, радианная мера которого равна числу (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки). (рис 5)
О. Число, равное ординате конца единичного радиуса, задающего угол , называется синусом угла и обозначается .
Т.к. каждому значению величины угла на тригонометрической окружности соответствует единственная точка , такая, что радиус ON образует угол с осью , то данное определение задает функцию .
Свойства:
1. Область определения функции: .
Т.к. для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции : .
2. Множество значений функции:
Теорема.
Множеством значений функции является промежуток
Доказательство:
Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрической окружности, может принимать лишь значения из отрезка .
С другой стороны, для значения ординаты из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату.
Следовательно, это значение будет синусом угла, образованного положительным направлением оси и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.
3. Периодичность:
Наименьший положительный период функции равен
Доказательство:
Т.к. центральный угол, соответствующий полной окружности, равен , то точки, соответствующие углам изображаются на тригонометрической окружности одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны.
Это означает, что число является периодом рассматриваемой функции.
Докажем, что - наименьший положительный период.
Рассмотрим значение функции , равное 1. Оно достигается только при . Значит, никакое число, меньшее , не может быть периодом. Значит, что - действительно наименьший положительный период функции .
Чётность/нечётность
Рассмотрим точки M и N, соответствующие на тригонометрической окружности углам и . Поскольку всякая окружность симметрична себе относительно своего диаметра (диаметр тригонометрической окружности лежит на оси ), а равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси , следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для всех х из области определениявыполняется равенство , т.е. функция является нечетной.