Наибольшее/наименьшее значение функции

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , то функция не имеет наибольшего и наименьшего значения

График функции.

О. Графиком кубической функции является кривая, называемая кубическойпараболой (рис.4).

6. Свойства функции Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru и её график

Рассмотрим функцию вида: Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

Свойства:

1. Область определения функции: Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru (по свойствам квадратного корня) (см. § 28)

2. Множество значений функции: Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru (почему?)

3. Периодичность:

Если Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , то Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , значит функция не определена в точке Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , а значит, функция Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru не является периодической.

Чётность/нечётность

Если Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , то Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , значит, функция не определена в точке Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , а, значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru : если Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Точки пересечения с осью Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Интервалы возрастания/убывания

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru возрастает на всей области определения Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

8. Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru Наибольшее/наименьшее значение функции

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru - не существует.

График функции

(рис 11).

7. Свойства функции Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru и её график

Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru Рассмотрим окружность с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице (это так называемая тригонометрическая окружность).

Для любогодействительного числа Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru можно провести радиус ON этой окружности, образующий с осью Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru угол, радианная мера которого равна числу Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки). (рис 5)

О. Число, равное ординате конца единичного радиуса, задающего угол Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , называется синусом угла Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru и обозначается Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

Т.к. каждому значению величины угла Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru на тригонометрической окружности соответствует единственная точка Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , такая, что радиус ON образует угол Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru с осью Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , то данное определение задает функцию Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

Свойства:

1. Область определения функции: Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

Т.к. для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru : Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

2. Множество значений функции: Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Теорема.

Множеством значений функции является промежуток Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Доказательство:

Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрической окружности, может принимать лишь значения из отрезка Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

С другой стороны, для значения ординаты Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату.

Следовательно, это значение Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru будет синусом угла, образованного положительным направлением оси Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку. Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

3. Периодичность:

Наименьший положительный период функции Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru равен Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru

Доказательство:

Т.к. центральный угол, соответствующий полной окружности, равен Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , то точки, соответствующие углам Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru изображаются на тригонометрической окружности одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны.

Это означает, что число Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru является периодом рассматриваемой функции.

Докажем, что Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru - наименьший положительный период.

Рассмотрим значение функции Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , равное 1. Оно достигается только при Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru . Значит, никакое число, меньшее Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , не может быть периодом. Значит, что Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru - действительно наименьший положительный период функции Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru .

Чётность/нечётность

Рассмотрим точки M и N, соответствующие на тригонометрической окружности углам Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru и Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru . Поскольку всякая окружность симметрична себе относительно своего диаметра (диаметр тригонометрической окружности лежит на оси Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru ), а равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для всех х из области определениявыполняется равенство Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru , т.е. функция Наибольшее/наименьшее значение функции - student2.ru является нечетной.

Наши рекомендации