Физические приложения тройных интегралов.

1) Масса и статические моменты тела.

Пусть тело занимает объем Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и его объемная плотность в точке Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru задана функцией Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru . Тогда масса тела Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru вычисляется с помощью тройного интеграла:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru :

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

2) Моменты инерции тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru :

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Моменты инерции тела относительно координатных осей Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru :

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

3) Тензор инерции.

Матрица инерции или тензор инерции тела:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

4) Гравитационный потенциал и сила тяготения.

Ньютоновым потенциалом тела в точке Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru называется интеграл:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

где Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru – плотность тела.

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и заданного распределенного тела с плотностью Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru по формуле:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

где Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru – гравитационная постоянная. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru .

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их вычисление и приложения. Формула Остроградского-Гаусса, Грина, Стокса

Криволинейные интегралы 1–го рода.

Определение.

Пусть кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru описывается векторной ф. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , причём Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , где переменная Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru – длина дуги кривой (Рис.1).

Если на кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru определена скалярная функция Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , то интеграл Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной ф. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru вдоль кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и обозначается:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Криволинейный интеграл Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , если ф. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru непрерывна на кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru .

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1) Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2) Пусть кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru начинается в т. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и заканчивается в т. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , а кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru начинается в т. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и заканчивается в т. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru (Рис. 2). Тогда их объединением будет кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , которая проходит от Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru к Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru вдоль кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и затем от Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru к Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru вдоль кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru . Тогда справедливо соотношение:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

3) Если гладкая кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru задана параметрически соотношением Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , причём Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и скалярная ф. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru непрерывна на кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , то:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

4) Если гладкая кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru в плоскости Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru определена ур. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , причём Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , то:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

5) Если гладкая кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru в плоскости Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru определена ур. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , причём Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , то:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

6) В полярных координатах интеграл Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru выражается формулой:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

где Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru задана в полярных координатах ф. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , причём Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru .

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru Криволинейные интегралы 2–го рода.

Определение.

Пусть кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru описывается векторной ф. Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , причём Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , где переменная Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru – длина дуги кривой. Тогда производная векторной ф.: Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (Рис 1.)

В приведенной выше формуле Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru – углы между касательной и положительными направлениями осей Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , соответственно.

Введем векторную функцию Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , определенную на кривой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , так, чтобы для скалярной функции: Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru существовал криволинейный интеграл: Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

вдоль кривой C и обозначается как: Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru . Таким образом:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

в векторной форме:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

где Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru .

Свойства криволинейного интеграла второго рода:

1) Пусть Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru обозначает кривую с началом в точке Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и конечной точкой Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru . Обозначим через Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

кривую противоположного направления от Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru к Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru . Тогда:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

2) Если Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru объединение кривых Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru и Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , то:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

3) Если кривая Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru задана параметрически в виде: Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru , то:

Физические приложения тройных интегралов. - student2.ru

Наши рекомендации