Угол между прямыми на плоскости

Определение.Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru

. Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 . Теорема.Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение.Прямая, проходящая через точку М11 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru Расстояние от точки до прямой

Теорема.Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru .

Доказательство.Пусть точка М 11, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru (1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Угол между прямыми на плоскости - student2.ru

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = Угол между прямыми на плоскости - student2.ru ; φ= p /4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны. Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны. Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. Находим уравнение стороны АВ: Угол между прямыми на плоскости - student2.ru ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0; Угол между прямыми на плоскости - student2.ru

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .

k = Угол между прямыми на плоскости - student2.ru . Тогда y = Угол между прямыми на плоскости - student2.ru . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: Угол между прямыми на плоскости - student2.ru откуда b = 17. Итого: . Угол между прямыми на плоскости - student2.ru Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнение прямой на плоскости

Определение.Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение.В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору Угол между прямыми на плоскости - student2.ru (3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Наши рекомендации