Понятие вероятности и частоты

Вероятность служит мерой объективной возможности появления события.

Вероятность события А обозначается символом Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события – Понятие вероятности и частоты - student2.ru , к общему числу всех исходов – Понятие вероятности и частоты - student2.ru , равновозможных, несовместимых и образующих полную группу.

Понятие вероятности и частоты - student2.ru (3)

Это определение вероятности называют классическим.

Следует иметь ввиду, что вероятность случайного события изменяется от 0 до 1, Понятие вероятности и частоты - student2.ru . Вероятность достоверного события равна 1; вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность противоположного события находится по формуле

Понятие вероятности и частоты - student2.ru (4)

Вероятность события A не следует путать с частотой (частостью) события A.

Частота события А находится как отношение числа опытов, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных опытов.

Понятие вероятности и частоты - student2.ru (5)

Заметим, что вероятность можно вычислить до опыта, а частоту только после опыта.

Пример 6.Монета подброшена 7 раз. При этом «орел» выпал 2 раза. Тогда вероятность выпадения «орла» равна Понятие вероятности и частоты - student2.ru , так как всего два исхода опыта (две стороны монеты), а число благоприятствующих исходов равна 1.

Частота выпадения «орла» равна Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Пример 7.В лотерее играет 1000 билетов. На пять билетов падает выигрыш 200 рублей, на десять билетов – 50 рублей, на 100 билетов – 1 рубль. Остальные билеты не выигрышные. Какова вероятность выиграть по билету а) не менее 50 рублей, б) двести рублей?

Решение. Обозначим события

А – выиграть не менее 50 рублей, В – выиграть 200 рублей.

Тогда Понятие вероятности и частоты - student2.ru , Понятие вероятности и частоты - student2.ru

Формулы комбинаторики

При вычислении вероятности по формуле (3) для нахождения Понятие вероятности и частоты - student2.ru и Понятие вероятности и частоты - student2.ru применяется та или иная формула комбинаторики, в зависимости от того, каким образом осуществляется выборка элементов из общего их числа.

Если даны Понятие вероятности и частоты - student2.ru различных элементов, то их можно объединить в группы с помощью перестановок Понятие вероятности и частоты - student2.ru , размещений Понятие вероятности и частоты - student2.ru и сочетаний Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

С помощью перестановок находится число комбинаций из одних и тех же Понятие вероятности и частоты - student2.ru различных элементов, которые отличаются только порядком их расположения.

Понятие вероятности и частоты - student2.ru (6)

Понятие вероятности и частоты - student2.ru –(факториал), Понятие вероятности и частоты - student2.ru , Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Пример 8.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз.

Решение. Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Если опыт состоит в выборе Понятие вероятности и частоты - student2.ru элементов из Понятие вероятности и частоты - student2.ru элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора, то число комбинаций находится с помощью размещений.

Понятие вероятности и частоты - student2.ru (7)

Здесь всего Понятие вероятности и частоты - student2.ru – сомножителей.

Пример 9.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, …9.

Решение. Так как здесь выборка цифр осуществляется без возвращения и важен порядок цифр в числе, то искомое количество чисел находится по формуле (7).

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

В том случае, когда опыт состоит в выборе Понятие вероятности и частоты - student2.ru элементов из Понятие вероятности и частоты - student2.ru элементов без возвращения и без упорядочивания, то число комбинаций находится с помощью сочетаний.

Понятие вероятности и частоты - student2.ru . (8)

Пример 10. Из партии товара, в которой 31 изделие стандартных, а 6 изделий бракованных, берут наудачу 3 изделия. Чему равна вероятность, что

а) все три изделия стандартные (А),

б) хотя бы одно изделие бракованное (В),

в) по крайней мере, одно изделие стандартное (С).

Решение. а) Так как всего 37 изделий и выборка без упорядочивания, то общее число комбинаций находится как

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Число комбинаций, благоприятствующих событию А равно

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Тогда вероятность события А равна

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

б) Событие В противоположно событию А, поэтому

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

в) Прежде, чем найти вероятность события С, найдем вероятность противоположного события Понятие вероятности и частоты - student2.ru - все три изделия бракованные

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Теперь легко найти вероятность события С, как

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Пример 11.Партия товара содержит 10 изделий. Из них 5 изделий стоят по 4 рубля, 3 изделия – по 1 рублю, 2 изделия – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия стоят 5 рублей.

Решение. Обозначим искомое событие – А.

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Так как два изделия из десяти берутся без возвращения и без упорядочивания, то общее число комбинаций найдем как

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Событие А состоится, если одно взятое изделие стоит 4 рубля, а другое – 1 рубль. Тогда число комбинаций, благоприятствующих событию А, находится по формуле (8)

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Окончательно получим

Понятие вероятности и частоты - student2.ru .

Наши рекомендации