Решение уравнений по методу хорд

Исходные данные:

- границы интервала, содержащего корень уравнения (А,В),

- R - абсолютная погрешность результата (корня уравнения),

- E - допустимое значение функции, близкое к нулю,

- Nmax - максимально допустимое число итераций.

Результаты:

- Хn, Хn-1 - два последних приближенных значения корня,

- f(xn), f(xn-1) - два последних значения функции,

- L = Решение уравнений по методу хорд - student2.ru

Основные шаги алгоритма:

а) вычислить f(A), f(B);

б) если f(A) Решение уравнений по методу хорд - student2.ru f(B) > 0, то корень отсутствует, L = -1, конец работы,

в) вычислить значение абсциссы точки пересечения хорды с осью 0Х

х1 = A - f(A) Решение уравнений по методу хорд - student2.ru (B-A)/[f(B) - f(A)];

г) если f(A) Решение уравнений по методу хорд - student2.ru f(Х1) > 0, то А = х1, f(A)=f(х1), иначе В=х1, f(В)=f(х1);

д) если f(х1) < E, то L =1, конец работы;

е) если |B - A|<=R, то L=0, конец работы, иначе перейти к пункту в).

В конце работы выполнить вывод результатов.

Необходимо также считать число итераций n и сравнивать с Nmax; если n >= Nmax, то закончить работу.

Решение уравнений по методу деления пополам (дихотомии)

Исходные данные и результаты те же, что в предыдущем случае.

Основные шаги алгоритма:

а) вычислить f(A), f(B);

б) если f(A) Решение уравнений по методу хорд - student2.ru f(B) > 0, то корень отсутствует, конец работы;

в) вычислить координату средины интервала х1 = Решение уравнений по методу хорд - student2.ru и значение функции при х1: f(х1);

г) если f(A) Решение уравнений по методу хорд - student2.ru f(х1) > 0, то А = х1, f(A) = f(х1), иначе В = х1, f(В) = f(х1);

д) если f(х1) < E, то конец работы,

е) если |B - A| <= R, то конец работы, иначе перейти к пункту в).

В конце работы выполнить вывод результатов. Необходимо также считать число итераций n и сравнивать с Nmax; если n >= Nmax, то закончить работу.

5.6 Решение уравнений по методу касательных (Ньютона)

Предварительно следует найти первую производную f ' (x).

Исходные данные и результаты те же, что в предыдущих случаях.

Основные шаги алгоритма:

а) вычислить f(A), f (B);

б) если f(A) Решение уравнений по методу хорд - student2.ru f(B) > 0, то корень отсутствует, L = -1, конец работы;

в) вычислить координату пересечения касательной к графику функции с осью ОХ: x1= Решение уравнений по методу хорд - student2.ru A и значение функции в этой точке f(x1);

д) если f(x1) <= E, то L = 1 и конец работы;

г) если |х1-A| < R, то L = 0, конец работы, иначе A = x1, переход к пункту в).

В конце работы выполнить вывод результатов.

Необходимо также считать число итераций n и сравнивать с Nmax; если n >= Nmax, то закончить работу.

Методы приближённого вычисления значений интегралов

Метод прямоугольников

При использовании метода прямоугольников (рис. 1) для вычисления суммы S1 используются формулы:

S1 = h[f(X1) + f(X2) + ... f(Xn)],

где X1 = A + h/2, X1 = Xi-1 + h.

Метод трапеций

При использовании метода трапеций (рис. 2) для вычисления суммы S1 используются формулы:

S1 = 0.5 h {f(A) + f(B) + 2[f(X1) + f(X2) + ... + f(Xn-1)]},

где X1 = A + h, X1 = Xi-1 + h.

6.3 Метод парабол (Симпсона)

При использовании метода Симпсона для вычисления суммы S1 используется формула:

S1 = Решение уравнений по методу хорд - student2.ru {f(A) + f(B) + ... + 2[f(A+h) + f(A+3h) + ... + f(A+(n-1)h] + 4[f(A+2h) + f(A+4h) + ... + f(A+(n-2)h)]},

где n - четное число.

Для вычисления суммы S2 используются те же формулы, только при измененных значениях шага аргумента h и количества интервалов n. 4.

Решение уравнений по методу хорд - student2.ru

Рисунок 1

Решение уравнений по методу хорд - student2.ru

Рисунок 2


Варианты заданий для решения уравнений

№ варианта Левая часть уравнения Метод вычислений
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод итераций
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод половинного деления
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод хорд
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод касательных
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод итераций
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод половинного деления
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод хорд
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод касательных
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод итераций
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод половинного деления
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод хорд
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод касательных
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод итераций
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод половинного деления
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод хорд
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод касательных
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод итераций
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод половинного деления
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод хорд
Решение уравнений по методу хорд - student2.ru Метод касательных
x - Sin(x)/2 – 1 = 0 Метод итераций
2x3 + 4x – 1 = 0 Метод половинного деления
05x – 8ln(x) - 6 = 0 Метод хорд
x3 + 12x – 2 = Метод касательных
x – Sin(x) = 0.25 Метод итераций

Содержание отчета

· титульный лист;

· содержание;

· задание варианта;

· график заданной функции (функций) в Excel;

· описание заданного численного метода;

· схема программы (блок-схема алгоритма);

· листинг программы на языке Паскаль;

· полученные результаты работы программы;

· выводы.

8 Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называется трансцендентным?

2. Какими способами можно определить интервалы корня?

3. В чем суть алгоритма решения уравнений по методу итераций?

4. В чем суть алгоритма решения уравнений по методу хорд?

5. В чем суть алгоритма решения уравнений по методу деления пополам (дихотомии)?

6. В чем суть алгоритма решения уравнений по методу касательных (Ньютона)?

7. Как учитывается абсолютная погрешность при вычислении корня?

8. Контроль каких вводимых данных необходимо осуществлять при решении трансцендентных уравнений?

Наши рекомендации