Константу можно выносить за знак производной

Константу можно выносить за знак производной

Пример 1.1. y = 12sinx +17cosx + 99tgx

► Пользуясь правилом суммы и вынося константу за знак производной получаем

(12sinx + 17cosx + 99tgx)` = 12cosx – 17sinx + ◄

Пример 1.2. y = 11x¹⁰¹ +18 ln(x)

► y` = 1111x¹⁰⁰ + 18/x◄

1) ( 2sinx + 3cosx – 4xa+5 ax )	2) ( 3tgx + 3ctgx – 7ln(6x)+4 ax )
3) ( 7arctgx + 5arcctg2x – 3log3(9x) )	4) ( 6tgx + 3arcsinx – 7log5(7x) )
5) ( 5tgx + 44arcsinx – 8log58(6x) )	6) ( 32arctgx + 3ctgx – 4log6(6x) )
7) ( 3sin2x + 5arcctgx – ln(6x) + 6x )	8) ( 23cosx + 78tgx – 99log3(6x))
9) (7secx + 5cosecx – 4og3(3x) + 7x )	10) (7arcsinx + 9sinx – 3ln(x) + 2x )
11) ( 39cosx + 7arccosx –33 ax )	12) (4tgx + 45arcctgx – 87 ax )
13) ( 6arcsinx + 4ctgx – 6ln(x) + vx )	14) (5tgx + 2sinx – 56ln(6x) +x)
15) ( 7arcctgx + cosx – 7ln(6x)+a 7x )	16) (1279x3 + 1279)
17) (17chx + 34shx + 136th2x)	18) (28/4(sin(cos34x)))
19) (4xlnx + 88cos(lnx))	20) (24e3x + 3e21x)
21) (324x3 + 456x2 + 43x)	22) (77arccos(thx) + 99)
23) (98tg3x + 84th5x)	24) (354esinx + 945ecosx)
25) (35cos(log3017x) + 92arctg5x)	26) (73(2)3x + 198e45x)
27) (23earccos(x2) + (17e/2)arctgx)	28) (73lnx3 + 3xlnx)
29) (77th(arctgx)+356 )	30) (876ln -126cos(79x))

Производная от частного. Найти производную функции

Пример 2.1. y = (99x/sinx).

► Воспользуемся формулой ((u/v)` = (u`v – uv`)/v²)

(99x/sinx)`=99(1×sinx–xcosx)/sin²x. ◄

Пример 2.2. y = 3a^x/lnx.

► Пользуясь правилом дифференцирования частного двух функций, получаем (3a^x/lnx)` = 3(a^xlnalnx–3a^x/x)ln²x. ◄

1) (tg(x) /cx3)) 2) (sin(x) /x) 3) (cos(x) /x5)

4) (arctg(x) /4x) 5) (arcctg(x) /(x-x8)) 6) (arcsin(x) /5x))

7) (arccos(x) /ax) 8) (5x/ln(x)) 9) (log(x) /x3x))

10) (ln(x) /cosec(x)) 11) (xa/sec(x)) 12) (x2/arccos(x))

13) (4x5) /arcsin(x)) 14) (9x) /arctg(x)) 15) (12x) /arcctg(x))

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) (lg₄x/thx) 29) (chx/(1-shx²)) 30) (shx/(1-thx))

Производная произведения

Пример 3.1. y = xsinxe^x.

► Пользуясь формулой (uv)` = u`v + uv` получим

(*) (xsinxe^x)` = xe^x cosx + e^xsinx(x + 1)

Здесь удобно взять u = xe^x,а v = sinx.Так как u – произведение двух функций, x и e^x, то воспользуемся формулой для вычисления произведения двух функций

u` = u<sub>1</sub>`v₁+u₁v₁` = e^x(x + 1), где u₁ = e^x, v₁ = x.

Подставляя найденное u` и v` = cosx получим (*)◄

Пример 3.2. y = sinxcosx(a^x)

► Действуя по аналогии с примером 3.1. возьмем u = sinxcosx и v = e^x, тогда

u` = cos<sup>2</sup>x-sin<sup>2</sup>x = cos2x, v` = e^x

По формуле для производной произведения получим

(sinxcosxe^x)` = u`v + uv` = e^xcos2x + e^xsinxcosx = e^x(cos2x + (sin2x)/2) ◄

1) ( 2xlog25x(-x56)) 2) ( 4xsinx(-arctg(x))) 3) (3xtgx(-arccos(x)))

4) ( 5xctgx(-x5a)) 5) ( axlog2x(-x7)) 6) (7xlog4x(-x3))

7) ( 8axlog7x(-x9)) 8) ( 9xlog3x(-5x8)) 9) (343xlog21x(-x33))

10) ( 77xlog63x(-4x8)) 11) ( 22xlog23x(-xa)) 12) (2xcosx(-x3))

13) ( 6xlog67x(-x66)) 14) ( 9xlog55x(-x77)) 15) (757xlog44x(-x88))

16) (xsinx) 17) (xshx) 18) (xthx³)

19) (tgxthx) 20) (lnxchx) 21) (sinx arccos2x)

22) (e^2xarctgxchx) 23) (a^xx^b) 24) (arcctgxlog₃₂x³)

25) (x³tgxsin3x) 26) (23^xln(x²+3x+2)) 27) (shx(ax+b))

28) (tgxarcctg24x) 29) (sin12x⁵chx⁷) 30) (e^xx^aln(bx)⁴)

Производная сложной функции

Пример 4.1. y = log₃(arcsinx)

► Пользуясь правилом нахождения производной от сложной функции и полагая f=log₃(g), g=arcsinx, найдем f`(g) и g`(x).

f`(g) = log<sub>3</sub>e/g, g`(x)= , (f(g(x)))`=f`(g)g`(x) Þ

◄

Пример 4.2.

► Поступаем, аналогично предыдущему примеру

.◄

1) (acos(tg(x))) 2) (3sin(ctg(x))) 3) (4tg(sin(x)))

4) (3(tg(cos(x))) 5) (7cos(3tg(4x))) 6) (6arctg(3cos(4x)))

7) (9cos(3arctg(6x))) 8) (10ln(tg(3x))) 9) (11ctg(3tg(7x)))

10) (6sin(tg(x))) 11) (4cosec(7tg(5x))) 12) (55cos(arctg(x)))

13) (3(arcsin(x))) 14) (2cos(6arcctg(4x))) 15) (5sec(5tg(8x)))

16) ln 17) (ln(ln(ln(2x+1)))) 18) (sin(arcctg(sh3x)))

19) (th(ctgx)) 20) (ln(arccose^x)) 21) (sin(shx))

22) (sin(chx²)) 23) (log₃₅(3^thx)) 24) (cosec(th(arcsin7^x)))

25) 26) 27) (sh(ch(e^20x)))

28) (7^ln(ln(x))) 29) (th(arctg(lnx))) 30) (x^xlnx)

Неявные функции

Пример 7.1. Уравнение x² + y² = 1 неявно определяет на интервале (-1,1) две функции:

y₁(x) = ,

y₂(x) = .

Найти их производные, не используя явных выражений.

►Пусть y(x) - любая из этих функций. Тогда, дифференцируя по x тождество

x² + y²(x) = 1,

получим

2x + 2y(x)y`(x) = 0.

Отсюда

y`(x) = –x/y(x),

т. е.

y`1(x) = –x/y1(x) = – , y`2(x) = – .◄

Пример 7.2. Уравнение arctg(y/x) = ln задаёт неявную функцию. Найти ее производную.

► Продифференцировав равенство arctg(y/x) = ln получим

,

откуда

y` = (x¹y).◄

Найти производную неяной функции y = f(x), определяемой уравнением

1) sin(xy) + 2x = 3xy 2) cos(xy)+2x= 5xy

3) tg(xy) + 5x= 8xy 4) arccos(x2y) + log2x = 11xy

5) cos(xy4) + arcsin(23x3) = 22xy 6) sin(xy) + 2x = 3xy

7) x3 + y4 = xy 8) 5x7 + y8 = x8y8

9) 5x6 + y9 = xy9 10) 8x9 + y7 = x7y2

11) 4x6 + y3 = x5y2 12) log5(xy3) + arcsin(9x5) = 19xy

13) log8(xy8) + arcsin(4x7) = 18xy 14) log9(xy9) + arcsin(2x9) = 1995xy

15) log2(xy4) + arcsin(3x3) = 19xy 16) x² + 2xy – y² = 2x

17) y² = 2px 18) = 1

19) 20)

21) arctg = ln 22) x³ – 2x²y² + 5x + y – 5 = 0

23) e^xy + xy = e 24) 2ylny = x

25) e^xsiny – e^ycosx = 0 26) sin(xy) + cos(xy) = 0

27) 2^x+2^y = 2^x+y 28) x – y = arcsinx – arcsiny

29) x^y = y^x 30)

Найти дифференциал функции

Пример 9.1. Найти дифференциал функции y = ctg3x

►Пользуясь тем, что dy = y`(x)dx найдем dy

dy = – , x¹pk/3, kÎZ.◄

Пример 9.2. Найти дифференциал функции y=ln| |

► Используя определение дифференциала, находим

.◄

1) y = arccos(89log56(8x+4x9) ) 2) y = tg(exp(5x+x7))

3) y = cos(log3(2x+x4)) 4) y = tg(5log4(7x+x3))

5) y = arctg7log8(9x+x2)) 6) y = log3(5log4(7x)+6x8))

7) y = exp(6log7(16+2x⁵)) 8) y = arctg(9log9(14x+x5))

9) y = arcctg(8log12(13x)) 10) y = cos(exp(2x+x4))

11) y = arcsin(log3(6x+12(x7)3)) 12) y = (67log11(2x+33x77))

13) y = 45log12(x+2x12) 14)y = (34log9(11x+66x9))3

15) y = (23log3(7x+77x5))5 16) y = ln|x+ |

17) y = xe^x 18)y = tg(exp(16x+x⁹))

19) y = arctg(3log5(2x+4x³)) 20) y = arcctg(2log6(7x+2x⁴))

21) y = arcsin(ln(6x²)) 22) y = arccos

23) y = arcsin 24) y = x²ln²x

25) y = 26) y =

27) y = sinx – xcosx+4 28) y = x + -5

29) y = xlnx-x+1 30) y = xarcsinx+

Константу можно выносить за знак производной

Пример 1.1. y = 12sinx +17cosx + 99tgx

► Пользуясь правилом суммы и вынося константу за знак производной получаем

(12sinx + 17cosx + 99tgx)` = 12cosx – 17sinx + ◄

Пример 1.2. y = 11x¹⁰¹ +18 ln(x)

► y` = 1111x¹⁰⁰ + 18/x◄

1) ( 2sinx + 3cosx – 4xa+5 ax )	2) ( 3tgx + 3ctgx – 7ln(6x)+4 ax )
3) ( 7arctgx + 5arcctg2x – 3log3(9x) )	4) ( 6tgx + 3arcsinx – 7log5(7x) )
5) ( 5tgx + 44arcsinx – 8log58(6x) )	6) ( 32arctgx + 3ctgx – 4log6(6x) )
7) ( 3sin2x + 5arcctgx – ln(6x) + 6x )	8) ( 23cosx + 78tgx – 99log3(6x))
9) (7secx + 5cosecx – 4og3(3x) + 7x )	10) (7arcsinx + 9sinx – 3ln(x) + 2x )
11) ( 39cosx + 7arccosx –33 ax )	12) (4tgx + 45arcctgx – 87 ax )
13) ( 6arcsinx + 4ctgx – 6ln(x) + vx )	14) (5tgx + 2sinx – 56ln(6x) +x)
15) ( 7arcctgx + cosx – 7ln(6x)+a 7x )	16) (1279x3 + 1279)
17) (17chx + 34shx + 136th2x)	18) (28/4(sin(cos34x)))
19) (4xlnx + 88cos(lnx))	20) (24e3x + 3e21x)
21) (324x3 + 456x2 + 43x)	22) (77arccos(thx) + 99)
23) (98tg3x + 84th5x)	24) (354esinx + 945ecosx)
25) (35cos(log3017x) + 92arctg5x)	26) (73(2)3x + 198e45x)
27) (23earccos(x2) + (17e/2)arctgx)	28) (73lnx3 + 3xlnx)
29) (77th(arctgx)+356 )	30) (876ln -126cos(79x))