Производная функции, заданной параметрически

Пусть Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

т.к. Ф(х) – обратная функция, то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Окончательно получаем: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример. Найти производную функции Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Способ 1: Выразим одну переменную через другую Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , тогда

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

x2 = a2cos2t; Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Пример: Исследовать функцию Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru > 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Пример: Исследовать функцию Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и построить ее график.

1. Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - наклонных асимптот не существует.

5. Находим точки экстремума.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru 4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ` 4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1

- 5x2 + 6x

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ` - 5x2 + 5x

x - 1

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ` x - 1

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

  (-¥ ; ¼) 1/4 ( ¼ ; ½) 1/2 ( ½ ; 1 ) (1 ; ¥)
f¢¢(x) + + + - +
f¢(x) - + + + +
f(x) убывает вып. вниз min возрастает вып.вниз перегиб возрастает вып.вверх перегиб возрастает вып. вниз

6. Построим график функции.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru


Наши рекомендации