Представление отношений диаграммами

Пусть r Í А Представление отношений диаграммами - student2.ru B. Это отношение между элементами множеств А и B. Если множества A и B счетные, то их можно представить на плоскости множествами точек из двух непересекающихся областей, обозначаемых как A и B. Если (a, b) Представление отношений диаграммами - student2.ru r, то точки, соответствующие a и b, соединяются ориентированной дугой. Такое представление аналогично диаграммам для отображений. При этом для диаграмм отношений допускается как многозначность связи элементов A с элементами B, так и отсутствие связей.

В случаях, когда в отношение входит много пар из А ´ B, или отношение обладает специальными свойствами изображение диаграммы отношения становится сложным для понимания. Поэтому могут применяться специальные правила уменьшения числа отображаемых связей. Например, в некоторых случаях не отображаются связи между элементами, для которых существует возможность связывания соответствующих им вершин с помощью последовательности уже изображенных дуг, проходящих через другие вершины.

Табличное задание отношений

Если множества A и B являются конечными и A = {a1,..., am}, B= {b1, ... , bn}, то всякое отношение r Í А Представление отношений диаграммами - student2.ru B можно представить таблицей, состоящей из m строк и n столбцов, имеющей следующий вид:

  b1 bj bn
a1   ai   am . . . . . . . . si,j . . . . . . . . .  

В этой таблице значение всякого элемента si,j определяется соотношением:

Представление отношений диаграммами - student2.ru 1, если (ai, bj)Îr

si,j =

0, если (ai, bj)Ïr.

Всякая заполненная нулями и единицами таблица, состоящая из m строк и n столбцов, представляет некоторое отношение на множествах A и B, составленное из всех таких пар (ai, bj), для которых si,j = 1.

Определенное соотношение таблиц и отношений на множествах является биективным. Табличное представление отношений удобно для программной реализации алгоритмов решения задач, связанных с отношениями.

ОПЕРАЦИИ НАД ОТНОШЕНИЯМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть Представление отношений диаграммами - student2.ru А Представление отношений диаграммами - student2.ru B и Представление отношений диаграммами - student2.ru B Представление отношений диаграммами - student2.ru C. Тогда отношение Представление отношений диаграммами - student2.ru А Представление отношений диаграммами - student2.ru C называется произведением отношений Представление отношений диаграммами - student2.ru и Представление отношений диаграммами - student2.ru , если выполнено условие:

Представление отношений диаграммами - student2.ru .

Произведение двух отношений Представление отношений диаграммами - student2.ru и Представление отношений диаграммами - student2.ru обозначается как Представление отношений диаграммами - student2.ruПредставление отношений диаграммами - student2.ru или как Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru . Произведение отношений обладает свойством ассоциативности.

ТЕОРЕМА 3.1

Если заданы отношения Представление отношений диаграммами - student2.ru А Представление отношений диаграммами - student2.ru B, Представление отношений диаграммами - student2.ru B Представление отношений диаграммами - student2.ru C, Представление отношений диаграммами - student2.ru С Представление отношений диаграммами - student2.ru D, то справедливо равенство Представление отношений диаграммами - student2.ru ◦( Представление отношений диаграммами - student2.ruПредставление отношений диаграммами - student2.ru ) = ( Представление отношений диаграммами - student2.ruПредставление отношений диаграммами - student2.ru )◦ Представление отношений диаграммами - student2.ru .

Доказательство

1. Покажем, что Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru .

Действительно, пусть (a, d) Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ), т.е. существует b такое, что a a b и b( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru )d. Тогда существует такое с, что b Представление отношений диаграммами - student2.ru с и с Представление отношений диаграммами - student2.ru d. Поэтому a( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru )с. Это означает, что a(( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru )d. Следовательно, справедливо включение Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru .

2. Покажем, что ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ).

Пусть (a, d) Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru . Тогда существует такое с, что
a ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru )с и с Представление отношений диаграммами - student2.ru d. Поэтому найдется такой элемент b, для которого справедливы соотношения: a Представление отношений диаграммами - student2.ru b и b Представление отношений диаграммами - student2.ru с. Поэтому b( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru )d, т.е. a Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru )d.

Следовательно, имеет место включение множеств:

( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) .

Значит, Представление отношений диаграммами - student2.ru ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) = ( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru ) Представление отношений диаграммами - student2.ru .

Доказательство окончено.

Заметим, что произведение отношений является аналогом произведения отображений. Для того, чтобы увидеть такую аналогию достаточно сопоставить произвольной функции f: A® B отношение {(x, f(x)) ½ xÎA}, которое называется графиком этой функции. Тогда, если отображение h является произведением отображений g и f, то график h -произведением графиков для g и f.

Рассмотрим пример. Пусть A - это множество людей, а C - множество городов.

Пусть на этих множествах определены отношения:
Представление отношений диаграммами - student2.ru Í A ´ A - отношение знакомства людей, а Представление отношений диаграммами - student2.ru Í A ´ B - отношение проживания в некотором городе. То есть, если справедливо соотношение aab, то это означает, что a знает b. Поэтому отношение Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru - представляет такие связи между людьми игородами, для которого справедливость соотношения a( Представление отношений диаграммами - student2.ru Представление отношений диаграммами - student2.ru )c означает, что a имеет знакомого в городе c. При этом точное знание конкретного человека, связывающего a и c не требуется, поскольку для выполнимости отношения abac важно лишь его существование.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть Представление отношений диаграммами - student2.ru А Представление отношений диаграммами - student2.ru B. Тогда отношение {(y, x)|(x, y)Îr} называется отношением, обратным к отношению r.

Для обозначения отношения, обратного к r, применяется запись r-1.

Понятие обращения отношений есть обобщение понятия обратного отображения. При этом обратное отношение всегда существует. Поскольку (r-1)-1= r, то отношения и их обращения находятся в биективной зависимости. Поэтому обращение всякого отношения порождает в общем случае новое отношение, которое совпадает с ним с точностью до простого преобразования.

Например, рассмотрим отношение управления людьми руководит Í A ´ A, где A - множество людей, определяемое соотношением: arb Û a руководит b.

Тогда отношение, обратное к отношению руководит, можно назвать словом руководим. Такое название соответствует содержательному смыслу обратной связи между b и a.

Понятие отношения может быть обобщено на произвольное конечное семейство множеств А1, .., Аk следующим образом.

Отношением на произвольном числе множеств А1, ... , Аk является всякое множество Представление отношений диаграммами - student2.ru А1 Представление отношений диаграммами - student2.ru ... Представление отношений диаграммами - student2.ru Аk. Однако отношения на парах множеств являются практически наиболее часто используемыми отношениями. Во многих случаях через такие отношения, с помощью специальных комбинаций отношений, могут выражаться отношения над более чем двумя множествами.

Наши рекомендации