Имеющей распределение Райса (обобщенное распределение Релея)
С ростом значения параметра эта функция сходится к гауссовской плотности вероятности с математическим ожиданием и дисперсией .При распределение переходит в распределение Релея.
Пример:
pd = makedist(‘rician’, ‘s’, 4, ‘ ’, 2);
y=random(pd, 10000, 1); % Выборкаобъема n=10000;
x=0:0.01:15;
;
plot(x,w)
2.5 . Формирование вещественного массива выборочных значений случайной величины, имеющей распределение Релея
Синтаксис:
pd = makedist(‘Rayleigh’, ‘b’, 2);
y=random(pd, n, 1);
Описание:
Функция MATLABpd = makedist(‘Rayleigh’, ‘ ’, 2) создает скрипт-файлраспределения Релея с параметром масштаба .
Функция MATLABy=random(pd, n, 1) генерирует массив yразмера , элементами которого являются выборочные значения случайной величины, имеющей плотность вероятностиpd.
Аналитическое выражение для соответствующей плотности вероятности имеет вид:
, .
Рис.6. Плотность вероятности распределения Релея
График этой плотности, представлен на рис.6 для .
График построен с помощью функции MATLAB , где – массив значений аргумента плотности вероятности, для которого вычисляются значения плотности .
Пример:
pd = makedist(‘Rayleigh’, ‘ ’, 2);
y=random(pd, 10000, 1); % Выборкаобъемаn=10000;
x=0:0.01:15;
;
plot(x,w)
2.6 . Формирование вещественного массива выборочных значений случайной величины, имеющей логарифмически нормальное распределение
Синтаксис:
pd = makedist(‘Lognormal’, ‘mu’, 2, ‘ , 1); w=
y=random(pd, n, 1);
Функция y=random(pd, n,1) формирует выборку y размера , элементами которой являются выборочные значениями случайной величины, имеющей логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.
Рис. 7. Плотность вероятности логарифмически нормального распределения
Функция MATLABpd = makedist(‘Lognormal’, ‘mu’, 2, ‘ ’, 1) создает скрипт-файл логарифмически нормального распределения с параметром нецентральностиmu и масштаба .
Аналитическое выражение для соответствующей плотности вероятности имеет вид:
, .
График этой плотности для mu и приведен на рис.7.График построен с помощью функции MATLABw , где – массив значений аргумента плотности вероятности, для которого вычисляются значения wплотности .
Пример:
pd = makedist(‘Lognormal’,’mu’,2, ‘ ’, 2);
y=random(pd, 10000, 1); % Выборкаобъема n=10000;
x=0:0.01:70;
;
plot(x,w)
2.7 . Формирование вещественного массива выборочных значений случайной величины, имеющей полигауссовское распределение
Синтаксис:
;
;
Описание:
mu– матрица размера , определяющая математические ожидания гауссовских случайных величин, являющихся компонентами смеси;
– определяет ковариации каждой компонентысмеси; размер матрицы в данной работеравен ;
– вектор размера , определяющий вероятности появления выборочных значений гауссовских компонент.
Функция формирует матрицуразмера выборочных значений случайной величины с плотностьювероятности obj.
Полигауссовская плотность вероятности может быть задана аналитически следующим выражением :
, .
На рис.8 представлен график полигауссовской плотности для следующих численных значений параметров:
.
Рис.8. Плотность полигауссовского распределения
График построен с помощью функции MATLAB . Здесь – массив значений плотности вероятности objдля значений [-1:0.01:7]аргумента .
Пример:
obj= gmdistribution([2 5]’, ;
y=random(obj, 10000); % Выборкаобъемаn=10000;
x=0:0.01:7;
;
plot(x,w)
3.8 . Приложение 2. Выбор вариантов
Таблица 1
№ вар. | Распределение | Значения параметров плотности вероятности |
1. | Хи-квадрат | 1.1: 1.2: 1.3: 1.4: |
2. | Релея | 2.5: 2.6: 2.7: 2.8: |
3. | Райса | 3.9: s ; 3.10: ; 3.11: ; 3.12: ; |
4. | Логнормальное | 4.13: ; 4.14: ; 4.15: ; 4.16: ; |
Полигауссовское | 5.17: 5.18: 5.19: 5.20: 5.21: | |
Номер варианта работы, выполняемого студентом, определяется номером его фамилии в журнале группы, который определяет второе число во втором столбце табл. 1.
3.9. Приложение 3. Пример исследования 1
В данном разделе приведен пример исследования случайной выборки, полученной с помощью датчика случайных чисел с нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием ( ) и дисперсией, равной 1 ( ).
В соответствии с изложенным в Приложении 1 в системе MATLAB генератор квазислучайных чисел с таким распределением и значениями параметров его плотности вероятности оформлен как m-функция. Обращение к такому генератору в строке командного окна MATLAB должно быть записано следующим образом:
y=randn(n, 1);
n – размер формируемой выборки. В результате выполнения этой команды в массив y (вектор-столбец) рабочего пространства будет помещена выборка, сформированная этим датчиком.
Ниже приведены все команды системы MATLAB, необходимые для вычисления и построения гистограммы выборки и графика теоретической плотности вероятности гауссовской случайной величины.
% Построение и аппроксимация гистограммы выборки %
randn('seed',0) ; % Устанавливает датчик псевдослучайных чисел в исходное состояние; %
normal=randn(10000,1); % Датчик randn формирует матрицу размера 10000х1, элементами которой являются выборочные значения случайной величины, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; матрица помещена в массив с именем normalрабочего пространства%
m=mean(normal); % Вычисление значения начального выборочного момента первого порядка - среднеарифметического значения выборки (оценка математического ожидания случайной величины;%
sigma=std(normal); % Вычисление значения второго центрального выборочного момента - среднеквадратического отклонения случайной величины от математического ожидания;%
[N,X]=hist(normal,25); % Выборка normalобрабатывается функцией MATLABhist(вычисление ненормированной гистограммы), для которой выбрано число подинтервалов . Здесь N - вектор, i-тая компонента которого равна числу элементов выборки, попавших в i-тыйподинтервал; Х - вектор, i-тая компонента которого определяет положение на оси абсцисс центра i-го подинтервала; %
bar(X, N/(10000*(X(2)-X(1))),’g-‘)% Вычисление значений и построение гистограммы выборки; %
hold; % Данная команда устанавливает режим сохранения текущего графического окна, что позволяет в этом окне построить последовательно несколько графиков;%
plot(X, exp(-(X-m).^2/(2*sigma^2))/((sqrt(2*pi)*sigma)),'r-')%Вычисление значений и построение графика функции плотности вероятности %;
title(‘Гистограмма выборки из гауссовского распределения’); % Заголовок рисунка %
xlabel(‘Значения случайной величины’);
ylabel(‘Значения плотности вероятности');
grid; % Нанесение координатной сетки; %
Рис. 8. Гистограмма выборки стандартной гауссовской случайной величины
На рис. 8 представлены графики, полученные в результате выполнения приведенных выше команд системы MATLAB.
3.10. Приложение 4. Пример исследования 2
В данном разделе приведен пример статистической обработки случайной выборки, полученной с помощью датчика случайных чисел с нормальным распределением с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением sigma.
В системе MATLAB генератор квазислучайных чисел с таким распределением и заданными значениями параметров его плотности вероятности оформлен как m-функция. Обращение к такому генератору в строке командного окна MATLAB должно быть записано следующим образом:
y=normrnd(a, sigma, n, 1);
гдеn – размер формируемой выборки. В результате выполнения этой команды в массив y (вектор-столбец) рабочего пространства системы MATLAB будет помещена выборка, сформированная этим датчиком.
Ниже приведены все команды системы MATLAB, необходимые для вычисления и построения эмпирической функции распределения и графика теоретической функции распределения рассматриваемой здесь гауссовской случайной величины.
%Построение и аппроксимация эмпирической функции распределения%
norma=normrnd(10, 1, 50,1); % Датчик normrnd формирует матрицу размера 50х1, элементами которой являются выборочные значения случайной величины, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 10 и среднеквадратическим отклонением 1; матрица помещена в массив с именем normaрабочего пространства MATLAB %
cdfplot(norma) %Вычисление и построение графика эмпирической функции распределения по выборкеnorma%
hold on
x=2:0.1:20;
F=normcdf(x, 10, 1);
plot(x,F,’r-‘)
Рис. 9. Построение и аппроксимация эмпирической функции распределения
Приложение5. Некоторые функции MATAB, полезные при исследовании распределений случайных величин
1. Вычисление значений функции распределения при известной плотности вероятности:
pd=makedist(‘Normal’);
x=-3:.1:3;
cdf_normal=cdf(pd, x);
2. Вычисление и построение гистограммы выборки с последующей аппроксимацией теоретической кривой:
y=normrnd(10,2,1000,1);
figure(2)
histfit(y)
3. Вычисление и построение гистограммы выборки с заданным числом столбцов и сглаживание ее заданной плотностью вероятности:
b=betarnd(3,10,1000,1);
figure(3)
histfit(b,15,’beta’)
4. Графический интерфейс для исследования влияния изменения значений параметров на форму плотности вероятности и функции распределения:
disttool
Рис.10.
Можно выбрать вид распределения, тип функции и установить различные значения параметров этого распределения, после ввода которых автоматически строится график плотности или функции распределения.