Задачи на проценты. Дисконтирование денежного потока

Одна сотая числа А называется одним процентом этого числа, т.е.

Пример10. На пост мэра города претендовало три кандидата: Алексеев, Борисов и Пименов. За Алексеева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Борисова, а за Пименова – в четыре раза больше, чем за Алексеева и Борисова вместе взятых. Сколько процентов голосов проголосовало за каждого, если на выборы была 100% явка?

Решение. За х примем процент голосов за Борисова, тогда

Борисов – х

Алексеев – 1,5 х

Пименов – (х + 1,5 х)·4 .

Всего: х + 1,5 х + 4 х + 6 х = 12,5 х . Составляем уравнение 12, 5 х = 100 и находим, х = 8 %.

Ответ: за Борисова проголосовало 8%, за Алексеева – 12%, за Пименова – 80%.

Решение задач на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» основано на использовании следующих понятий и формул.

Пусть некоторая величина А зависит от времени «t». В начальный момент она имеет значение А . В момент времени t она имеет значение, равное А₁.

Разность называется абсолютным приростом величины А за время Отношение называется относительным приростом.

Величина называется процентным приростом. Ее обозначают (11)

Рассмотрим задачу о вычислении процентов в банке. Пусть первоначальный вклад в банк составил A₀ денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Через год вклад в банке увеличится на величину , т.е. величина вклада через год составит

. (12)

Пример 11.Банк начисляет за год 20% на вклад. Какую сумму составлял первоначальный вклад, если через год на счету оказалось 1920 руб.?

Решение. Используем формулу (12). Подставим в нее наши значения и найдем А₀:

Каков будет размер вклада A_n через n лет? Это зависит от того, какие проценты используются в банке: простые или сложные.

При использовании простых процентов размер вклада будет ежегодно увеличиваться на одну и ту же величину (1.2), таким образом, через n лет сумма вклада составит

. (13)

Сложные проценты – это проценты, начисляемые в определенные сроки как на основной вклад, так и на наращенные за предыдущий срок проценты. Если процентная ставка не меняется, то размер вклада будет ежегодно увеличиваться в одно и то же число раз, т.е.

. (14)

При непрерывном начислении вклад меняется по функции

. (15)

Пример 12.Как изменится вклад в 300 тыс. руб. при 8% годовых через 5 лет, если начисляются: а) простые; б) сложные проценты.

Решение. Первоначальная сумма вклада тыс. руб. При начислении простых процентов сумма вклада составит

При начислении сложных процентов –

Пример 13.Сберкасса ежегодно начисляет 3% от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Решение. Пусть первоначальный вклад составляет А руб. По условию задачи через «n лет» сумма составит 2А руб. С другой стороны по формуле (14) будем иметь:

.

Разделив обе части равенства на А, получим

, или .

Чтобы найти «n», прологарифмируем последнее уравнение по любому основанию. Проведем логарифмирование по основанию е, что наиболее часто встречается в высшей и финансовой математике. Получим:

,

т.е. через двадцать три года вкладчик получит удвоенный вклад.

Если процентная ставка менялась от периода к периоду и сначала была р₁, потом р₂ и т.д., то значение величины A_n в момент времени (т.е. за n периодов) будет находиться по формуле

. (16)

Пример 14. Первоначальная ставка в банке была 8%, а затем каждый год ставка повышалась на 5%. Какую сумму получит вкладчик 100 тыс. руб. через три года? Чему равен общий процент повышения?

Решение. Используем формулу (16), учитывая, что р₁ = 8%, р₂ =13%, р₃ = 18%. Имеем:

тыс. руб.

Общий прирост составил 144,01 – 100 = 44,01 тыс. руб., что в процентах по отношению к первоначальному взносу составляет 44, 01%.

При определении экономической эффективности капитальных вложений встречаются так называемой задачи дисконтирования.

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t при процентной ставке p, называется дисконтированием.

Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Поэтому, если проценты простые, то дисконтированная сумма вычисляется по формуле

. (17)

При начислении сложных процентов, дисконтированная (начальная) сумма к моменту времени t в случае сложных процентов вычисляется по формуле

(18)

При непрерывном начислении процентов – по формуле

(19)

Предположим, теперь, что деньги вкладывались в банк не разово в начальный момент времени t = 0, а постоянно и образуют непрерывный денежный поток, который выражается непрерывной функцией . Тогда общая сумма K, вложенная в банк за период времени , представляет определенный интеграл

. (20)

Здесь – ежегодно поступающий доход. Величина K называется дисконтной суммой за период времени .

Пример 15. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составляли 10 млн. руб., намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Решение. По условию капиталовложения задаются формулой

.

Тогда дисконтированная сумма капиталовложений составит

.

Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы в 17. 44 млн .руб. через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременному первоначальному вложению в 14, 064 млн. руб. при той же процентной ставке.

Теория вероятностей