Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений.

Если число измерений n достаточно велико (на практике: n>30), то случайная величина удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы и подчиняется нормальному закону распределения с центром хист и неизвестным нам средним квадратическим отклонением σ.

Центральные предельные теоремы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Зададим предельную доверительную погрешность δ = Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru и воспользуемся правилом трех сигм для нормального распределения:

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru . (5.13)

Вероятность того, что хист отклоняется от произвольного значения величины Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru на расстояние не более чем 3σ( Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru ) равна 0,9973 (или 99,73%).

Таким образом, с вероятностью 0,9973, происходит событие, состоящее в том, что истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал (5.14)

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru - Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ruСреднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru - хистСреднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru + Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru . (5.14)

С вероятностью 0,9973 выполняется условие (5.15)

хист = Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru + Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru . (5.15)

Вывод:поскольку в 99,73% случаев истинное значение измеряемой величины хист отклоняется от выборочного среднего Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru не более чем на Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , то для оценки точности измерений мы можем использовать величину Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru .

5.1.5 Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через хист, погрешность из­мерения этой величины - Δх. Среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений, будет Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru . Пусть γозначает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δх. Это принято записывать в виде

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru . (5.16)

Вероятность γназывается доверительной вероятностью, или коэффициен­том надежности. Интервал значений от хист-Δх до хист+Δх называется доверитель­ным интервалом.

Выражение (5.10) означает, что с вероятностью, равной γ, истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы доверительного интервала от хист-Δх до хист+Δх. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим полу­чается соответствующий доверительный интервал, и, наоборот, чем больший до­верительный интервал задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не вый­дут за его пределы.

Итак, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительного интервала) и вели­чину доверительной вероятности.

Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень его надежности опять-таки задается характером производимых измерений. Более высокая степень надежности, требуемая при от­ветственных измерениях, означает, что при их производстве нужно выбирать большой (в долях с) доверительный интервал. Иначе говоря, для получения той же величины ошибки Δх следует производить измерения с большей точностью, т. е. нужно тем или иным способом уменьшить в соответствующее число раз величину σ. Одна из возможностей такого увеличения состоит в многократном по­вторении измерений.

При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95.

Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень надежности, иногда задают доверительную вероятность 0,997. Большая величина доверительной вероятности в подавляющем большинстве измерительных задач не требуется.

Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соот­ветствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0,68. (Здесь и дальше полагаем, что ошибки распределены по нормальному закону). Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и их результаты сведены в таблицу (Приложение 4).

5.1.6 Правила нахождения доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины при большом числе измерений (n≥30).

1. По серии из n измерений, проведенных примерно в одинаковых условиях: х12, …, хn вычисляют

- выборочное среднее (5.3)

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru

- стандартное отклонение (5.5 и 5.7)

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru .

2. Задают значение надежности γ. Обычно используют значения: 0,95; 0,99 или 0,999.

3. По таблице (приложения Г) для интеграла вероятности находят значение коэффициента Кγ из условия

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , (5.17)

При γ = 0,95 Кγ =0,1808; γ = 0,959 Кγ =0,1879; γ = 0,999 Кγ =0,1915.

4. Вычисляют:

- предельную доверительную погрешность

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , (5.18)

- верхнюю доверительную границу

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , (5.19)

- нижнюю доверительную границу

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , (5.20)

4. Результат измерения записывают в виде

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , с обязательным указанием надежности γ. (5.21)

5.1.7 Правила нахождения доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины при малом числе измерений (n<30).

1. По серии из n измерений, проведенных примерно в одинаковых условиях: х12, …, хn вычисляют

- выборочное среднее

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru

- стандартное отклонение

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru .

2. Задают значение надежности γ. Обычно используют значения: 0,95; 0,99 или 0,999.

3. По таблице находят значение коэффициента Стьюдента tγ для заданной надежности γ и числа степеней свободы ν=(n-1) (Приложение В)

4. Вычисляют:

- предельную доверительную погрешность

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , (5.22)

- верхнюю доверительную границу

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru

- нижнюю доверительную границу

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru

5. Результат измерения записывают в виде

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений. - student2.ru , с обязательным указанием надежности γ. Рекомендуется также указывать и число проведенных измерений n.

Наши рекомендации