Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

, (1)

где x – независимая переменная, y(х) – неизвестная функция этой переменной, – ее первая производная.

Часто дифференциальное уравнение первого порядка встречается в разрешенной относительно форме

,

или в дифференциальной форме:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0.

Решением дифференциального уравнения называется функция которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. В результате интегрирования дифференциального уравнения первого порядка получают не одно решение, а семейство решений, зависящих от одной произвольной постоянной С:

– общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Если решение получено в виде, не разрешенном относительно у:

то его называют общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка.

Всякое решение, получающееся из общего при конкретном числовом значении произвольной постоянной называется частным решением:

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее некоторому начальному условию

(2)

нужно в общее решение уравнения подставить :

(3)

и из полученного уравнения (3) найти затем найденное значение подставить в общее решение. В результате получим частное решение

Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.

Общее решение задает на плоскости XOY семейство интегральных линий данного дифференциального уравнения, т.к. каждому значению соответствует кривая с уравнением Решению задачи Коши соответствует одна интегральная линия из этого семейства, проходящая через точку .

Методы решения основных типов дифференциальных уравнений

Го порядка

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

(4)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Отличительной особенностью уравнений этого типа является то, что в правой их части находится произведение функций одна из которых зависит только от x, другая только от y.

Для того, чтобы найти решение уравнения (4), нужно разделить переменные x и y, собрав в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Для разделения переменных в уравнении (4) заменим на

и умножим обе части уравнения на

Получили уравнение с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения, а следовательно, и уравнения (4) находится почленным интегрированием:

где С – произвольная постоянная.

Таким образом, чтобы найти общее решение или общий интеграл уравнения (4), нужно разделить переменные x и y и почленно проинтегрировать полученное равенство.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (4), замечаем, что оно является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим на Разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

Отсюда – общий интеграл данного уравнения. Разрешая его относительно у, можно записать общее решение данного уравнения в виде

Ответ:

З а м е ч а н и е. Уравнение вида

(5)

также является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. здесь коэффициенты при dx и dy являются произведениями функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Уравнение вида (5) решается тем же способом, что и уравнение (4).

2.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

(6)

где – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (6) является то, что искомая функция y и ее первая производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются между собой, т.е. связаны линейно.

Для решения уравнения (6) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций, т.е. положим Тогда Подставив значения y и в уравнение (6), получим: или

(7)

Если выбрать так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.

, (8)

то вторая функция должна удовлетворять уравнению

(9)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (6) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (8) и (9). Общее решение уравнения (6) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (8) и общего решения уравнения (9):

(10)

Пример 2.Найти решение дифференциального уравнения

которое удовлетворяет условию (задача Коши).

Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение в виде

Сравнивая его с уравнением (6), убеждаемся, что оно является линейным дифференциальным уравнением. Положим Подставив y и в уравнение, получим: , или

(*)

Найдем функцию решая уравнение

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования: не С, а ).

Из последнего уравнения получаем:

– общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставим найденную функцию в уравнение (*): и найдем функцию – общее решение этого уравнения. ,

откуда

– общее решение уравнения .

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно:

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

2.3. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида

(11)

где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (6) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

2.4.Однородные уравнения.

Функция f(x,y) называется однородной измерения m, если

Дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 (12)

называется однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одного измерения.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

(13)

С помощью подстановки , т.е. y = tx однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го измерения, т.к. выполнено

.

Разрешим это уравнение относительно . Для этого запишем его в виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на : .

Введем подстановку y = tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(х). Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Поскольку функцию y(x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ: – общий интеграл уравнения.