Из истории развития количественных представлений

МНОЖЕСТВО. ЧИСЛО. СЧЕТ

Литература: [9, 11, 12, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 31, 32, 34, 36]

Глейзер Г.И. История математики в школе. IV-VI классы.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М., 1998.

История математики. Т. 1 /Под ред. Юшкевича А.Г. – М., 1970.

Фомин С.В. Системы счисления. – М., 1964.

Из истории развития количественных представлений

Этапы исторического развития числа

1 этап. Сравнение групп предметов по количеству с помощью установления взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств (1 шкура - 1 горшок).

2 этап. Использование множеств-посредников для сравнения по количеству (зарубки на палке о количестве в прошлом году).

3 этап. Использование универсальных множеств для обозначения кол-ва (1 луна; 5 пальцев на руке: луна оленей; рука оленей).

4 этап. Возникновение числительных и нумерации, абстрагирование числа от конкретного множества.

5 этап. Становление теорий числа: количественной и порядковой.

Основные идеи количественной и порядковой теорий натурального числа

Количественная теория.

Г. Кантор, XIX в. Основные понятия – множество, взаимнооднозначное соответствие.

В том случае, если каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент из множества У, то говорят, что между этими множествами установлено взаимнооднозначное соответствие.

Рассмотрим 2 бесконечных множества:

(1) множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5,…n, …

(2) множество четных натур. чисел 2, 4, 6,…2n, …( подмножество (1)).

Так как ряд четных чисел можно пронумеровать с помощью натуральных чисел, то между этими двумя множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Если между множеством и его некоторым подмножеством нельзя установить взаимнооднозначное соответствие, то множество является конечным.

Если между двумя конечными множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие, то эти множества называются равночисленными.

Отношение «быть равночисленными» на множестве всех множеств является рефлексивным, симметричным, транзитивным, а значит, является отношением эквивалентности. Поэтому отношение «быть равночисленным» разбивает множество всех множеств на классы. В эти классы попадут самые различные множества. Общее между ними – одинаковое количество элементов (в класс «5» - 5 цветов, 5 пальцев).

Натуральным числом называют общее свойство класса не пустых, конечных, равночисленных множеств.

Покажем, как операции над числами определяются через операции над множествами.

Обозначим через n(А) количество элементов в множестве А.

Введем операцию сложения над числами через операцию объединения над множествами.

Суммой чисел a и b называется количество элементов в объединении множеств А и В, которое равно

а + b = n(АÈВ) = n(А) + n(В), при условии, что АÇВ = Æ.

Порядковая теория натурального числа.

Джузеппе Пеано, XIX в. Основные понятия: единица (е), операции: непосредственно следовать за, сложение, умножение.

В основе теории – аксиомы Пеано, которые являются свойствами натурального ряда чисел.

1 аксиома. Единица непосредственно не идет ни за каким натуральным числом.

2 аксиома. Любое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом.

3 аксиома. Если к натуральному числу х добавить 1, то получим непосредственно следующее натуральное число х`, т.е. х + 1= х`.

4 аксиома. С помощью добавления единицы к натуральному числу можно получить весь ряд натуральных чисел.

5 аксиома. Если натуральное число х умножить на 1, то получим само натур. число, т.е. х∙1 = х.

х + у` = х + (у + 1) = (х + у) + 1 = (х + у)`

Мы видим, что в количественной теории понятие числа определяется через множество, а операции над числами - через операции над множествами. В порядковой теории дан принцип образования каждого числа, понятие числа определяется через систему аксиом.

Начало формы

Познание ребенком понятия числа происходит одновременно в рамках количественной и порядковой теорий.

Нумерации

Нумерация - графическое изображение числа.

Существуют разные способы изображения числа. У разных народов в разное время существовали разные способы изображения чисел:

Иероглифическая нумерация (Др. Египет) – числа изображались с помощью рисунков.

Клинопись (Вавилон) – использовались горизонтальные и вертикальные клинышки.

Буквенная нумерация – числа изображались в виде букв, первая буква числительного (penta - p).

Алфавитная нумерация: а) греческая; б) славянская.

Первые 9 чисел – обозначаются первыми 9 буквами алфавита; следующие 9 букв обозначают десятки; следующие – сотни. Чтобы запись числа отличалась от записи букв, ставилась титла – волнистая черточка над буквой.

Римская нумерация. Для записи числа использовались 7 знаков:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Все остальные числа записывались с помощью этих знаков на основе следующих правил:

Если низшее число написано справа, то его прибавляют: VI; если низшее число написано слева, то его отнимают: IV .

Прибавлять можно не более 3-х знаков, а отнимать не более одного: VIII – восемь, IX – девять.

Отнимать можно непосредственно предыдущий знак, от сотни – только 10, от 500 – только 10. Например, 99 – XCIX.

Если надо записать число более 3-х тысяч, мы записываем его низшими знаками, берем в скобки и обозначаем индексом m. 214698 – (CCXIV)m DCXCVIII.

6. Арабская нумерация (пользуемся и теперь). Придумали в Индии, европейцы переняли у арабов. Используется 10 знаков – цифры: 0, 1, …., 9.

Развитие понятия числа

3-4 года. Дети используют слова-числительные, но не понимают, что такое число. На этом этапе дети способны лишь сравнивать различные множества путем установления взаимнооднозначного соответствия.

4-5 лет. Дети могут сравнивать числа на основе сравнения множеств, но не воспринимают число абстрактно, без множества.

5-6 лет. Способны сравнивать любые числа на основе свойства транзитивности. При измерении понимают число как результат измерения, т.е. как отношение всей величины (целого) к условной мерке (части). Понимают, что число служит лишь показателем количества. Происходит абстрагирование числа от конкретных множеств.

Пример ознакомления с кругом.

1 этап (1-3 года). Предлагаются игры с геометрической мозаикой (содержащей круги) по составлению из фигур различных предметов (тележка, машинка и т.д.). Обращается внимание на то, что колеса должны быть круглыми, чтобы машинка могла ехать. Можно предложить просто покатать круги. Ведется работа по введению в словарь термина «круг».

2 этап (3-6 лет). Для сравнения круга и квадрата используется осязательно-двигательное обследование пальчиком их контуров (у круга дорожка гладенькая, а у квадрата есть препятствия, они острые). Просим детей проследить зрением за движением пальчика по контуру. Затем предлагаем наложить круг на квадрат, обращаем внимание на лишние кусочки у квадрата. Просим покатать круг и квадрат: круг катится, квадрат – нет. Упражнения на группировку: из квадратов и кругов строим поезд: что выбрать для колес, а что для окошечек?

Затем в 3-4 года с кругом сравнивается треугольник, аналогично как с квадратом.

В 4-5 лет с кругом сравнивается овал. Сначала круг накладывается на овал, указываются лишние кусочки. Затем демонстрируется более точный способ показа отличия этих фигур. Вводится понятие «оси» и путем измерения осей показывается, что у круга все оси равны. Затем демонстрируется, что при сгибе круга по оси границы совпадают.

В 5-6 лет круг сравнивается с шаром. Показывается, что круг прячется в ладошки, значит он - плоский, а шар – не прячется, значит он - объемный. Затем демонстрируется, что шар легко катится в разные стороны, а круг лишь в две (его нужно придерживать). Обращается внимание, что шар – пространственный аналог круга. Для того, чтобы нарисовать предметы, имеющие форму шара, надо нарисовать круг.

3 этап (5-6 лет).

1. Обобщение понятия «круг». Детям предлагаются круги разного цвета и размера, необходимо назвать их одним словом.

Упражнения на группировку:

- выбрать круги из всех фигур;

- выбрать круги из фигур без углов;

- сгруппировать круги по цвету или размеру.

2. Определение формы окружающих предметов. Детей учат находить круглые предметы в определенной обстановке. Используются предметы, приближенные к плоским (колесо, блюдечко, поднос, салфетка, настенное панно, циферблат часов, зеркальце). Выясняется, что у этих предметов общее. Предлагается назвать предметы, имеющие форму круга.

ОРИЕНТИРОВКА В ПРОСТРАНСТВЕ

Литература: [2, 9, 11, 12, 14, 16, 22, 31, 32, 36]

ОРИЕНТИРОВКА ВО ВРЕМЕНИ

Литература: [2, 4, 9, 11, 14, 16, 22, 28, 29, 31, 32, 33, 36]

Будько Т.С. Экскурсы ў матыматыку //Пралеска, № 8, 1994.

Глейзер Г.И. История математики в школе. IV-VI классы.

Грошев В.Д. Календарь российского земледельца. – М., 1991.

Краткий энтомологический словарь русского языка.

Словарь иностранных слов.

Хренов Л.С., Голуб И.Я. Время и календарь. – М., 1989.

СОДЕРЖАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ФЭМП) У ДЕТЕЙ 3 - 6 ЛЕТ

Литература: [2, 6, 7, 14, 26, 27, 32, 36]

СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ С ДЕТЬМИ 6-ЛЕТНЕГО ВОЗРАСТА

Литература: [11, 14, 15, 16, 21, 22, 32, 36]

В программе для 6-тилеток первого класса содержатся те же 5 разделов, что и в программе для детей дошкольного возраста: 1) число и вычисление, 2) знакомство с величиной, 3) геометрические фигуры, 4) ориентировка в пространстве, 5) ориентировка во времени.

Центральное место занимает раздел «Число и вычисление» (по значимости и объему).

Число и вычисление

Рассмотрим лишь новые программные задачи.

Счет группами.

Детям показывается, что в качестве единицы счета может быть не только 1, а любое число, можно считать десятками. «Сколько всего цветов в трех букетах по 5 цветочков?», «Сколько купили десятков яиц?»

Запись цифр и знаков

До школы учителя не рекомендуют обучать написанию цифр, т.к. могут меняться прописи. В дошкольных учреждениях и в начале 1-го класса рекомендуется записывать примеры с помощью готовых карточек с печатными цифрами и знаками. На первом этапе детей учат писать отдельные элементы цифр и знаков. Затем учат рисовать цифры по пунктирной линии, при этом на рисунке показывается начало движения руки, направление движения, смена направления, конец движения.

Затем детям предлагается прописать цифры по пунктирным линиям, потом просто – в клеточках. Этот алгоритм применяется и к обучению записи других знаков (+, -, <, >, =).

Знакомство со 2-м десятком

В качестве наглядности используются счетные палочки по одной и десяток в связке. Сначала детям рассказываем об образовании слов-числительных 2-го десятка (10 сокращенно как «дцать»):

11 – один-надцать – один на 10, 12 – это 2 на 10.

После этого поясняется значение каждого знака в записи числа. Например, в числе 12 первая цифра обозначает 1 десяток, а вторая – 2 единицы. Затем детей учат решать примеры.

1-й тип: в качестве слагаемого используется целый десяток, например, 10+3 или 13-10.

2-ой тип: действия происходят в пределах 2-го десятка, нет перехода через границу десятка, например, 15+2 или 17-3.

15+2= (10+5)+2 = 10+(5+2)=10 + 7 = 17.

3-й тип: осуществляется переход через границу 1-го десятка, например 6+7 или 13-8. Для решения этих примеров 2-е слагаемое или вычитаемое надо разбить на 2 удобных числа: одно – чтобы дойти до границы первого десятка, а второе – остаток от числа.

13-8=13-(3+5)= (13-3)-5= 10-5=5.

Знакомство с величиной

Сначала идёт повторение того программного материала, который изучается в старшей группе детского сада: представление о величине, измерение величины с помощью условных мерок. Рассмотрим лишь новые программные задачи.

Геометрические фигуры

В программе 1 класса не предусмотрено повторение имеющихся у детей знаний об объемных геометрических фигурах, а также таких плоских фигурах, как ромб и трапеция.

Новые задачи:

Ориентировка в пространстве

Новых задач в программе нет. Закрепляются умения ориентироваться в двухмерном пространстве.

Ориентировка во времени

Развитие чувства времени

Детей необходимо учить определять время без часов. Для этого их знакомят с длительностью интервалов 1, 3, 5, 10 минут. Детям предлагается за определенное время выполнить какие-либо действия (выложить из палочек узор, нарисовать орнамент, одеться и т.д.). При выполнении деятельности детям предоставляется право следить за течением времени по нескольким видам часов (механическим, песочным, электронным)

Чтобы показать относительность восприятия времени, надо предложить детям за один и тот же промежуток времени выполнить интересную и неинтересную работу.

8.6 Кроме формирования математических представлений, программой 1 класса предусмотрена предлогическая подготовка детей, которая включает в себя формирование представлений о множестве, элементах множества, операциях над множествами, о свойствах предметов, формирование умений называть и отрицать свойства объектов.

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ДОШКОЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЯХ

Литература: [14, 16, 26, 36]

Преемственность заключается в установлении взаимосвязи задач, содержания, форм и методов обучения детей в детском саду и школе. С одной стороны необходим учет в дошкольном учреждении всех требований школы, а с другой – опора на достигнутый уровень развития, знания и умения детей.

Преемственность в содержании обучения заключается в следующем:

- в основе обеих программ лежит теория множеств,

- еще в детском саду дети овладевают математическим языком, что является опорой для будущего обучения,

- в детском саду у детей формируются представления о некоторых математических понятиях, в 1 классе вводятся отдельные понятия, содержание знаний поднимается на новую ступень, осмысливается с теоретических позиций,

- в программе 1 класса продолжается изучение материала в рамках тех же 5 разделов, что и в детском саду.

Однако в содержании программ имеет место факт нарушения преемственности. Так, например, в разделе «Геометрические фигуры» полученные детьми в старшем дошкольном возрасте представления о некоторых плоских (ромб, трапеция) и объемных фигурах даже не повторяются. В разделе «Ориентировка в пространстве» нет продолжения решения такой сложной программной задачи, как трансформация 3-хмерного пространства в 2-хмерное.

Преемственность детского сада и школы проявляется также и в методах обучения.По-прежнему основное место занимают практические методы, ведущим из которых является игра. Первоклассникам дается больше самостоятельности при выполнении упражнений, все чаще используются продуктивные методы. В качестве наглядного материала педагог уже использует не игрушки, не картинки, а более абстрактную наглядность (счетные палочки, фигуры). Больше требований предъявляется к словесным методам, детей учат рассуждать. В первом классе, как и в дошкольном возрасте, детей учат рассуждать по индукции (у синего квадрата 4 равных угла и 4 равных стороны, и у красного квадрата 4 равных угла и 4 равных стороны, значит у всех квадратов 4 равных угла и 4 равных стороны). Методы дедукции также используются в элементарной форме для доказательства некоторых умозаключений, необходимо детям чаще задавать вопросы: почему? Как ты узнал? Объясни?

Использование этих методов позволяет развивать мышление детей и обеспечивает преемственность между математической подготовкой детей в детском саду и 1 классе.

Преемственность детского сада и школы существует также и в ёВ 1-м классе уроки по математике проводятся в игровой форме по 30 минут 4 раза в неделю, домашних заданий нет. Чтобы обеспечить преемственность в формах обучения, воспитатель обязан провести в старшей группе несколько занятий, аналогичных школьным урокам (длительность до 25 минут, когда дети сидят за столами по 2, учатся поднимать руку, если желают ответить, учатся удерживать внимание, выполняя задание воспитателя).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Альтхауз Д., Дум Э. Цвет-форма-количество: Опыт работы по развитию познавательных способностей детей дошкольного возраста /Рус. Пер. под ред. В.В.Юртайкина. – М., 1984.

3. Будько Т.С. Методические разработки конспектов комплексно-математических занятий для детей старшего дошкольного возраста. – Брест, 1996.

4. Волина В.В. Математика. – Екатеринбург, 1997.

5. Грин Г., Лаксон В. Введение в мир числа. – М., 1982.

6. Детство: Программа развития и воспитания детей в детском саду /Под ред. Т.И.Бабаевой, З.А.Михайловой, Л.М.Гурович. – СПб, 1996.

7. Давайте поиграем /Под ред. А.Столяра. – М., 1991.

8. Доронова Т.М., Якобсон С.Г. Обучение детей 2-4 лет рисованию, лепке, аппликации. – М.: Просвещение, 1992.

9. Ерофеева Т.И. и др. Математика для дошкольников. – М., 1992.

10. Ерофеева Т.И. и др. Математическая тетрадь для дошкольников. – М., 1992.

11. Житомирский В.Г., Шеврин Л.Н. Математическая азбука. – М., 1984.

13. Житомирский В.Г., Шеврин Л.Н. Геометрия для малышей. – М., 1987.

14. Леушина А.М. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников. – М., 1974.

15. Логика и математика для дошкольников /Авт.-сост. З.А.Михайлова, Э.Н.Иоффе. – СПб, 1997 (Библиотека программы «Детство»).

16. Метлина Л.С. Математика в детском саду. – М., 1984.

17. Метлина Л.С. Занятия по математике в детском саду. 2-е изд., доп. – М., 1985.

18. Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников: Пособие для воспитателей детского сада. – М., 1985.

19. Моро М.И. и др. Математика в картинках (Для занятий с детьми 5-6 лет). 2-е изд., испр. – М., 1986.

20. Материалы конференции «Использование игровых материалов при ФЭМП». – Л., 1985.

21. Математика до школы /Сост. З.А.Михайлова, Р.Л.Непомнящая. – СПб, 1998 (Библиотека программы «Детство»).

22. Математика от трех до семи /Авт.-сост. З.А. Михайлова, Э.Н.Иоффе. – СПб, 1997 (Библиотека программы «Детство»).

23. Педагогическая практика в группах дошкольного возраста: Учебно-методические рекомендации. – Брест, 2002.

24. Никитин Б.П. Ступеньки творчества или Развивающие игры. – М., 1990.

25. Рихтерман Т.Д. Формирование временных представлений у детей дошкольного возраста. – М., 1982.

29. Сербина Е.В. Математика для малышей. – М., 1992.

30. Смоленцова А.А. Сюжетно-дидактические игры с математическим содержанием. – М., 1988.

31. Сай М.К., Удальцова Е.И. Математика в детском саду. – Мн., 1990.

32. Соловьева Е.В. Математика и логика для дошкольников. – М., 2000.

33. Тарабарина Т.И. Детям о времени. – Ярославль, 1996.

34. Тарунтаева Т.В. Развитие элементарных математических представлений у дошкольников. 2-е изд., испр. – М., 1980.

35. Удальцова Е.И. Дидактические игры для детей дошкольного возраста. – М., 1982.

36. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников /Под ред. А.Столяра. – М., 1988.

Начало формы

Конец формы

МНОЖЕСТВО. ЧИСЛО. СЧЕТ

Литература: [9, 11, 12, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 31, 32, 34, 36]

Глейзер Г.И. История математики в школе. IV-VI классы.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М., 1998.

История математики. Т. 1 /Под ред. Юшкевича А.Г. – М., 1970.

Фомин С.В. Системы счисления. – М., 1964.

Из истории развития количественных представлений