Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИМОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Если модель регрессии нелинейно-параметризованная,то есть:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru ,

то априорное планирование эксперимента невозможно, так как для нелинейно - параметризованных моделей информационная матрица Фишера и ковариационная матрица оценок зависят не только от входов, но и от неизвестных параметров модели.
В случае нелинейной параметризации возможно лишь последовательное планирование эксперимента.

Последовательное планирование эксперимента реализуется следующим образом:

1) Проводится "затравочный" эксперимент, то есть на объекте реализуется один из известных планов. При этом план должен быть невырожденным, то есть на его основе, используя метод Гаусса-Ньютона, можно найти НМНК-оценки всех неизвестных параметров модели. В результате получается начальная оценка вектора неизвестных параметров Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

2) Планируется первый этап. Для этого синтезируемая модель раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Получается линеаризованная модель. Для линеаризованной модели реализуется задача планирования эксперимента, то есть находится одна или несколько точек локального D-оптимального плана.

3) Реализуется первый этап, то есть на объекте проводятся спланированные опыты. После реализации первого этапа уточняются оценки неизвестных параметров модели методом Гаусса-Ньютона. При этом учитываются все ранее проведенные опыты (опыты "затравочного" эксперимента и опыты первого этапа).

Кроме вычисления оценок неизвестных коэффициентов вычисляется их ковариационная матрица:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

4) Планируется второй этап аналогично первому этапу. Получается линеаризованная модель в окрестности точки Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , и определяется одна или несколько точек второго этапа.

5) После реализации второго этапа уточняется НМНК-оценка, то есть вычисляется Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru с учетом всех ранее проведенных опытов. В качестве начального приближения для процедуры Гаусса-Ньютона используется оценка Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Таким образом, процедура последовательного планирования представляет собой совокупность чередующихся этапов синтеза точек непрерывного, локального D-оптимального плана, их реализации на объекте и уточнения НМНК-оценок с учетом всех ранее проведенных опытов и уточняемых начальных приближений для процедуры нелинейного оценивания.

Правило останова здесь то же самое, что и для априорного планирования, то есть планирование заканчивается на том этапе, на котором отличие синтезируемого локального непрерывного плана от D-оптимального становится меньше заданного порога .

Рассмотрим формализацию процедуры для модели Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Пусть "затравочный" эксперимент включает N0 опытов. В результате этого эксперимента найдем Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Линеаризованная модель имеет вид:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Так как Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru неслучайная величина, то Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , тогда Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Таким образом, первая точка плана определяется как:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru ,

где Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Возможно планирование сразу нескольких точек плана: Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , где n1 - число экспериментов на первом этапе.

При этом необходимо воспользоваться процедурой непрерывного планирования, предполагая, что Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Спланированные опыты реализуется на объекте. После проведения опытов уточняется НМНК-оценка вектора Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - находятся с помощью процедуры Гаусса-Ньютона. Далее планируется второй этап и т.д.

Запишем выражение для N+1-го этапа. Его осуществление производится при помощи решения следующей аргументной задачи:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

где Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - точка плана, синтезируемая на N+1 этапе.

Затем вычисляется НМНК-оценка вектора Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru по следующей формуле:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

где

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Остановка процедуры происходит на том этапе, при планировании которого отличие локального плана, состоящего из точек, полученных на всех предыдущих этапах, от D-оптимального становится меньше порогового значения .

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Выбор стратегии планирования, то есть числа планируемых опытов на каждом этапе, должен производиться из следующих соображений:

1) Если планируется один опыт на каждом этапе, то каждый такой опыт является наиболее информативным, так как он планируется после уточнения оценок неизвестных параметров модели. Однако при такой стратегии сильно затягивается реализация процедуры во времени, так как после каждого опыта требуется вычисление коэффициентов, увеличиваются и вычислительные затраты.

2) Если планируется сразу несколько опытов, то информативность каждого такого опыта снижается, так как они планируются без уточнения коэффициентов, но при этом резко сокращаются вычислительные затраты, и ускоряется процедура идентификации.


ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ТИПА "ВХОД - ВЫХОД".

Задача оптимального восстановления
ординат импульсной переходной функции

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

В задачах динамики в качестве факторов планирования выступают дискретные значения входного сигнала в моменты времени, предшествующие моменту планируемого измерения выхода, т.е.:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Задать значение вектора Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - значит задать предысторию по входу.

Вектор факторов планирования однозначно определяет сигнал, длительностью Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , который является предысторией по входу, если планируемое измерение выхода производится в момент окончания этого участка сигнала (если входной сигнал является кусочно-постоянной функцией на интервале t).

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Пространство планирования U0 обычно задается следующим образом:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - ограничение входного сигнала по амплитуде.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - дискретное время памяти.

В задачах динамики также используются нормированные факторы, если соответствующая модель линейно параметризованная.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

где Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - значение входного сигнала объекта до начала эксперимента.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru
Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - интервал варьирования.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

План эксперимента в задачах динамики также определяется спектром и частотами. Последовательность точек плана определяет непрерывный тестирующий сигнал, который должен быть подан на вход объекта при реализации плана.

Рассмотрим пример для Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru =4.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru  
+1 -1 +1 -1  
+1 +1 -1 -1  
-1 -1 -1 +1 сшивается на три такта
+1 +1 -1 +1  
-1 +1 +1 +1 сшивается на два такта
+1 -1 +1 +1 сшивается на три такта

"Сшивание":

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение сигнала на базе плана производится либо путем "стыковки" участков сигнала, определенных соседними точками плана, либо путем их "сшивания" на максимально возможную глубину. "Сшивание" возможно на 1,2,..., Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru -1 такт. При сшивании можно существенно сократить длину сигнала и протяженность эксперимента.

При построении непрерывного сигнала на базе плана имеются следующие возможности уменьшения длины сигнала:

1) Определение такой последовательности реализаций точек плана, которая обеспечивает минимальную длину сигнала. Нужно выбрать такую последовательность, при которой наибольшая "сшиваемость".

2) Учет свойств эквивалентности симметричных участков сигнала.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - эти участки сигнала несут одинаковую информацию.

Дисперсия в симметричных точках одинакова, то есть можно менять знаки на противоположные.

Если это свойство выполняется, то при построении сигнала ординаты отдельных участков можно заменить на симметричные им значения и обеспечить тем самым большую глубину их сшивания.

Критерии оптимальности в задачах динамики те же, что и в задачах статики. Но эти критерии относятся обычно не к планам, а к определяемым ими тестирующим сигналам.

В задачах планирования эксперимента при синтезе моделей динамики реализуются два этапа:

1) синтез оптимального плана для заданной структуры динамической регрессионной модели и выбранного критерия оптимальности;

2) построение непрерывного тестирующего сигнала минимально возможно длины на основе синтезированного плана.

При планировании эксперимента в динамике моменты измерения выхода априори неизвестны. Они определяются лишь после построения тестирующего сигнала. Как правило, эти моменты неравноотстоящие. Минимальный интервал равен t, а максимальный интервал - Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

В общем случае, обработка результатов эксперимента методом наименьших квадратов возможна, когда время корреляции случайного процесса Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .Таким образом, шаг дискретизации можно выбрать первоначально из того же условия. Но это только один аспект выбора шага дискретизации.

Особенности выбора шага дискретизации Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru всегда определено.

 tи Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru нужно определить.

Параметр Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru можно рассматривать как дополнительный фактор планирования, то есть при синтезе оптимального тестирующего сигнала параметр Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru можно варьировать и находить некоторое оптимальное его значение.

При выборе Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru можно исходить из следующих соображений:

1) целью задачи синтеза оптимального тестирующего сигнала является определение оптимальной формы сигнала как функции времени, то есть точное определение моментов переключения сигнала;

2) если Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru или tвыбраны неудачно, то оптимальный сигнал может не быть синтезирован только потому, что точные моменты переключения отличаются друг от друга на величины,не кратныеt.

Два участка сигнала,полученные при кратных значениях Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru совпадают по форме.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

1. Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru 2. Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , то форма сигнала не изменится.

Учитывая то, что два участка сигнала, полученные при кратных значениях Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru совпадают по форме, если t выбрано оптимально, можно предложить следующий алгоритм оптимизации Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru :

1) Задается Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

2) Синтезируется участок сигнала, соответствующий Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Для этого участка вычисляется критериальная функция Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

3) Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru увеличивается в два раза: Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

4) Синтезируется участок сигнала для Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Вычисляем для этого участка критериальную функцию Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

5) Сравниваются по модулю: Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Если это условие выполняется, задача решена. Если не выполняется, то задается новое значение Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , при чем Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru и реализуются этапы 2-5.

После определения Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru в качестве искомого тестирующего сигнала необходимо использовать удовлетворяющий условию останова сигнал, а моменты измерений выхода определяются как моменты окончания участков тестирующего сигнала (максимально возможно сшитого).

Оптимизация параметра Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru обычно производится один раз при синтезе первого участка тестирующего сигнала, то есть первой точки плана. При определении остальных участков сигнала (точек плана) используется Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru или минимально возможное кратное ему значение.

Оптимальное восстановление ординат
импульсной переходной функции

Ранее была получена структура модели ординат:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

с вектолром неизвестных параметров

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Необходимо найти оптимальные оценки неизвестных ординат.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - вектор входных переменных или факторов планирования.

По структуре данная модель эквивалентна модели: Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , если обозначить Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Таким образом, задача оптимального восстановления ординат и.п.ф. может быть решена на основе ортогональных планов первого порядка типа ПФЭ и ДФЭ. Это следует из эквивалентности моделей.

Рассмотрим пример.

Пусть Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru =3. ПФЭ для такой модели является одновременно ортогональным, рототабельным, D- и G-оптимальным планом.

План будет иметь вид:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru
+1 +1 +1
-1 +1 +1
+1 -1 +1
-1 -1 +1
+1 +1 -1
-1 +1 -1
+1 -1 -1
-1 -1 -1

Этому плану будет соответствовать следующий тестирующий сигнал:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Стрелками указаны моменты планируемых измерений выхода.

Таким образом, оптимальные тестирующие сигналы для восстановления ординат могут быть построены на основе ортогональных планов первого и второго порядка типа ПФЭ и ДФЭ. Однако обеспечить минимальную длину сигнала на основе таких планов не всегда возможно.

ПЛАНЫ ПЛАККЕТТА-БЕРМАНА.

Большими возможностями для построения оптимальных тестирующих сигналов обладают ортогональные планы Плаккетта-Бермана.

Эти планы могут быть построены на основе соответствующих последовательностей символов +1 и -1. Такие последовательности получены для различных значений N (N - общее число точек плана) от 8 до 100 с шагом 4, кроме N=92. Каждая последовательность содержит N-1 символ и определяет ортогональный план Плаккетта-Бермана, матрица которого имеет размерность Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Рассмотрим последовательность для N=16.

+1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1

На основе этой последовательности можно построить матрицу плана следующим образом: последовательность символов принимается в качестве первых N-1 элементов первого столбца матрицы.

Второй столбец получается на основе первого столбца следующим образом: в качестве первого элемента второго столбца используется последний элемент первого столбца, то есть элементы первого столбца сдвигаются на один элемент вниз и переписываются во второй столбец. Остальные столбцы заполняются аналогично. Шестнадцатая строка заполняется ⌠√1■.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построенному плану Плаккетта-Бермана будет соответствовать следующий тестирующий сигнал:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru
Это оптимальный сигнал для восстановления 15 ординат и.п.ф.

Матрица плана Плаккетта-Бермана является ортогональной и удовлетворяет всем трем свойствам матриц ортогональных планов первого порядка.

Сигналы, построенные на основе ПФЭ, ДФЭ и планов Плаккетта-Бермана, близки к псевдослучайным двоичным сигналам (ПСДС). Сигнал, построенный на основе плана Плаккетта-Бермана, может быть использован для нахождения оптимальных оценок до N-1 ординаты и.п.ф.

Для повторения сигнала можно использовать его симметричное отражение, чтобы увеличить глубину "сшивания".

Если измерения выхода не сопряжены с экономическими затратами, то после реализации тестирующего сигнала на объекте при вычислении оценок можно использовать не только запланированные измерения выхода, но и все дополнительные измерения (промежуточные), определивдля них соответствующую предысторию по входу. При этом оценки неизвестных параметров могут ухудшаться, однако точность оценок повышается.

Если используется МНК необходимо, чтобы выполнялось условие: Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . При невыполнении этого условия следует использовать ОМНК.

Если Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru , то можно повысить точность модели без повторного тестирования объекта, если при обработке информации использовать и промежуточные измерения выхода. Промежуточные измерения выхода возможны, так как входной сигнал является кусочно-постоянной функцией времени и, следовательно, предыстория для каждого промежуточного измерения выхода та же, что и для измерения, производимого в начальный момент соответствующего интервала времени, то есть для планируемого измерения.

Построение D-оптимальных моделей,
соответствующих разложению импульсной переходной функции по системе базисных функций

Структура такой модели была получена в виде:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Эта модель соответствует разложению импульсной переходной функции по системе базисных функций:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - вектор неизвестных параметров.

Анализируя структуру линейно-комбинационной модели, легко видеть, что для нее неизвестны оптимальные планы. Для данной модели синтезировать ортогональный или рототабельный план невозможно, поэтому будем использовать критерий D-оптимальности.

Будем рассматривать два подхода к построению D-оптимальной линейно-комбинационной модели:

1. Построение D-оптимальной линейно-параметризованной модели.

2. Построение нелинейно-параметризованной D-оптимальной модели.

При первом подходе будем решать задачу априорного планирования эксперимента и задачу априорного синтеза D-оптимального тестирующего сигнала. При втором подходе будем использовать теорию последовательного планирования эксперимента и синтезировать локальный D-оптимальный тестирующий сигнал в реальном масштабе времени.

ПОСТРОЕНИЕ D-ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ,
ЛИНЕЙНО-КОМБИНАЦИОННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

Априорная оценка параметра затухания системы базисных функций равна:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Вектор неизвестных параметров модели:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Мы должны построить модель, для которой Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Для этого необходимо найти D-оптимальный план для линейно-комбинационной модели при известном  и построить тестирующий сигнал на основе этого плана, то есть построить непрерывный D-оптимальный тестирующий сигнал.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - факторы планирования.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Синтез непрерывного D-оптимального плана будем производить на основе ПНП:

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

В качестве начального плана можно использовать любой ортогональный план (ПФЭ и ДФЭ и другие), а в качестве начального участка тестирующего сигнала использовать соответствующий сигнал, предназначенный для восстановления ординат.

Этот план предполагает Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru измерений выхода. Вычисление информационной матрицы Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Рассмотрим особенности реализации ПНП для линейно-комбинационной модели.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Важное значение имеет исследование дисперсионной функции Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru и определение множества точек пространства планирования, в котором она может достигать глобального максимума. После нахождения такого множества поиск глобального максимума можно производить путем вычисления дисперсионной функции в точках этого множества и выбирать ту точку, где дисперсия максимальна.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Наша дисперсионная функция Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Таким образом, мы показали, что дисперсионная функция является квадратичной формой относительно вектора Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Отсюда следует, что максимумы этой функции могут достигаться лишь на границах области планирования. Отсюда следует, что синтезируемый D-оптимальный тестирующий сигнал является двухуровневым, то есть может принимать значения ╠ 1. Таким образом, мы показали, что только в вершинах пространства планирования дисперсионная функция может достигать глобальных максимумов, число которых равно Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru . Очевидно, что в симметричных точках пространства планирования дисперсия предсказания выхода одинакова.

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - симметричная точка.

Таким образом, мы показали, что симметричные участки тестирующего сигнала эквивалентны. Это свойство необходимо использовать при сливании строк матрицы планирования с целью уменьшения длины соответствующего сигнала. Это свойство позволяет в два раза сократить число просматриваемых точек пространства планирования, то есть число просматриваемых точек будет Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru .

Известна теорема, согласно которой необходимо просматривать лишь те вершины пространства планирования, которым соответствуют участки сигнала, имеющие не более (k-1) переключения.

Предположим, что к=3.

0 переключений

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

участки с 1-им переключением

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

участки с 2-мя переключениями

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru - число вариантов

Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru

Реализация ПНП в данной задаче производится также как и в задаче статики с учетом результатов данной теоремы.

На первой итерации определяется оптимальная глубина памяти ( Построение D-оптимальной линейно-параметризованной линейно-комбинационной динамической регрессионной модели - student2.ru ). В результате находится план и строится тестирующий сигнал, построение которого производится также, как и восстановление ординат с учетом эквивалентности симметричных участков сигнала.

Наши рекомендации