Свободные колебания системы с произвольнымчислом степеней свободы

Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесо­мую балку, изображенную на рис.14.3 и с n сосредоточенными мас­сами m₁, m₂, m₃,..., m_n. Пренебрегаем продольными деформация­ми оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется перемещениями сосредоточенных масс y_i (t) (i = 1,2,3,...,n) в произвольные моменты времени t, вызван­ными упругими деформациями балки в поперечном направлении.

Рис.14.3

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы , (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы y_i (t) записывается в виде суммы:

, (14.11)

где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Подставляя выражение инерционных сил в систему уравнений (14.11), получим:

, (i = 1,2,3,...,n). (14.12)

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), опи­сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­рядка с постоянными коэффициентами, решение которой в общем случае записывается в виде:

. (14.13)

Рассмотрим одно частное произвольное решение соответствую­щее r-ой форме колебаний:

. (14.14)

Подставляя (14.14) в (14.12) получим:

, (14.15)

которое распадается на две группы уравнений:

(14.16)

и

(14.17)

Решение уравнения (14.16) записывается в виде:

, (r = 1,2,3,...,n). (14.18)

Как видно из (14.18), по произвольной форме r = 1,2,3,...,n коле­бания происходят по гармоническому закону с частотой . Здесь - частота собственных колебаний заданной системы, соответст­вующая r-ой форме.

Согласно (14.14) - является перемещением i-ой массы при r-ой форме колебания, значения которой определяется из решения системы алгебраических уравнений (14.17).

Система (14.17) относительно (i = 1,2,3,...,n) имеет различ­ные решения. Очевидно, решение º 0 свидетельствует об отсут­ствии движения системы, т.е. состояние покоя системы, которое нас не интересует.

Система (14.17) может иметь решения, отличные от нулевого лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

, (14.19)

где принято обозначение .

Раскрывая определитель (14.19), получаем уравнения n-ой степени относительно , а при его решении получим n значений . Каждому значению (r = 1,2,3,...,n) будет соответствовать своя собственная частота:

,

и свой собственный вектор:

.

При этом собственные формы упругих систем ортогональны между собой:

, (r,k = 1,2,3,...,n; r ¹ k). (14.20)

Величины непосредственно из решения (14.17) определить нельзя, они могут быть найдены с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. по существу могут быть найдены от­ношения между . Принимая обозначения система (14.17) преобразуется в вид:

Последняя система имеет одно лишнее уравнение, так как име­ем n уравнений относительно (n-1) неизвестных . Отбрасывая одно из этих уравнений, решая оставшуюся систему определяют все неизвестные .

Далее, полагая _, по формуле определяются все остальные амплитуды перемещений масс при r-ой произволь­ной форме колебаний.

Возвращаясь к выражению (14.13) с учетом (14.18) можем запи­сать:

(14.21)

Учитывая, что , A_r и B_r являются произвольными постоян­ными, решение (14.21) можно записать в более удобной форме:

и можно выразить через начальные условия каждой массы при t = 0, которыми являются перемещения i-ой массы и ее скорости , и следовательно, задача о свободных колеба­ниях системы с произвольным числом свободы будет полностью решена.