Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (97)

4.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии.

Выведем формулы, выражающие эту теорему. Запишем уравнения движения точек механической системы в виде

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

Умножим каждое из этих уравнений скалярно на дифференциал радиуса-вектора соответствующей точки Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru и полученные уравнения почленно сложим

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (98)

Преобразуем выражение в левой части (98), пользуясь свойствами дифференциала:

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

Здесь Т – кинетическая энергия механической системы. Учитывая также, что элементарная работа внешних и внутренних сил выражается по формулам

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

из (98) получим

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (99)

Формула (99) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

При решении практических задач такая форма записи теоремы обычно не используется. Если обе части (99) проинтегрировать от начального положения механической системы до конечного, в которых кинетическая энергия соответственно равна Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru и Т , и в правой части равенства поменять порядок интегрирования и суммирования, то из (99) получим

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (100)

Формула (100) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии механической системы на каком-либо перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему, вычисленных на этом перемещении.

Сделаем ряд замечаний, касающихся практического применения этой формы записи теоремы.

1. Формула (100) связывает следующие физические характеристики: массы, скорости (угловые скорости), силы и перемещения (угловые перемещения). Поэтому ее удобно использовать при решении задач, в которых перечень заданных и искомых величин соответствует этому набору.

2. Внутренние силы механической системы могут изменить ее кинетическую энергию.

3. Внутренние силы в механической системе многочисленны и, как правило, неизвестны. Поэтому формулу (100) удается использовать на практике, когда сумма работ внутренних сил системы равна нулю. Это выполняется в случае, когда тела, включенные в механическую систему, абсолютно твердые и внутренние связи идеальные.

Если теперь обе части (109) поделить на dt, то теорему можно выразить в виде

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (101)

Формула (101) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме производных: первая производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Теорему в этой форме удобно использовать на практике для вычисления ускорений (угловых ускорений) тел системы.

Пример 11.

Однородный стержень длиной ОА=l=0.5 м может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, оставаясь в вертикальной плоскости. В начальный момент стержень находился в нижнем вертикальном положении и ему была сообщена угловая скорость Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (см. рис. 72). Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня в тот момент, когда он будет проходить горизонтальное положение.

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

Рис 72.

Решение.

Для нахождения угловой скорости стержня в его горизонтальном положении применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru (102)

Так как стержень считаем абсолютно твердым телом, то Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru Обозначим на рисунке внешние силы, к числу которых относятся сила тяжести Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru и реакции опорного шарнира Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru Работа реакций Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru равна нулю, так как точка их приложения остается неподвижной. Тогда сумма работ внешних сил равна работе силы тяжести

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

Учитывая, что стержень совершает вращательное движение вокруг оси Oz, перпендикулярной плоскости рисунка, его кинетическую энергию в начальном и конечном положениях вычислим по формулам

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

Подставим полученные выражения в формулу (102):

Отметим, что мощность силы в этом случае вычисляется по формуле - student2.ru

Наши рекомендации