Общая схема исследования функций.

Задача 2.4. Исследовать функцию Общая схема исследования функций. - student2.ru с помощью производных первого и второго порядка и построить её график.

Решение.Исследование функции производится по следующей схеме.

1. Общие особенности функции: область определения, непрерывность и точки разрыва, вертикальные асимптоты, четность – нечетность, периодичность.

В нашем случае область определения функции

Общая схема исследования функций. - student2.ru ;

прямая Общая схема исследования функций. - student2.ru – вертикальная асимптота, функция общего вида.

2. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Применим метод интервалов для исследования знаков функции.

Общая схема исследования функций. - student2.ru - + - +

7 10 20 Общая схема исследования функций. - student2.ru

3. Возрастание – убывание функции, точки экстремума. Этот пункт связан с исследованием знаков первой производной функции. Имеем:

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Корни квадратного многочлена Общая схема исследования функций. - student2.ru равны

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Знаки Общая схема исследования функций. - student2.ru определим, используя метод интервалов.

Общая схема исследования функций. - student2.ru + - - + Общая схема исследования функций. - student2.ru

8.6 20 31.4

Общая схема исследования функций. - student2.ru max Общая схема исследования функций. - student2.ru Общая схема исследования функций. - student2.ru min Общая схема исследования функций. - student2.ru Общая схема исследования функций. - student2.ru

Точки Общая схема исследования функций. - student2.ru и Общая схема исследования функций. - student2.ru являются точками локального максимума и минимума соответственно.

4. Выпуклость – вогнутость функции, точки перегиба. Данный пункт связан с исследованием второй производной функции. Если Общая схема исследования функций. - student2.ru , то функция выпукла вверх (как функция Общая схема исследования функций. - student2.ru ), а если Общая схема исследования функций. - student2.ru , то функция выпукла вниз (как функция Общая схема исследования функций. - student2.ru ).

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru + Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru 20 Общая схема исследования функций. - student2.ru Общая схема исследования функций. - student2.ru

5. Наклонные асимптоты функции.

Наклонная асимптота функции (если она существует) есть такая прямая Общая схема исследования функций. - student2.ru на плоскости Общая схема исследования функций. - student2.ru , к которой “прижимается” график функции Общая схема исследования функций. - student2.ru при Общая схема исследования функций. - student2.ru , то есть Общая схема исследования функций. - student2.ru . Коэффициенты Общая схема исследования функций. - student2.ru и Общая схема исследования функций. - student2.ru определяются из соотношений

Общая схема исследования функций. - student2.ru , Общая схема исследования функций. - student2.ru .

В нашем случае

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Следовательно, прямая Общая схема исследования функций. - student2.ru является наклонной асимптотой функции.

Общая схема исследования функций. - student2.ru Общая схема исследования функций. - student2.ru Общая схема исследования функций. - student2.ru

 
  Общая схема исследования функций. - student2.ru

3. Функции нескольких переменных.

Интегралы.

Частной производной функции Общая схема исследования функций. - student2.ru по переменной Общая схема исследования функций. - student2.ru в точке Общая схема исследования функций. - student2.ru называется предел

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Аналогично определяются частные производные по Общая схема исследования функций. - student2.ru и по Общая схема исследования функций. - student2.ru . При дифференцировании по одной переменной все остальные считаются постоянными.

Например, если Общая схема исследования функций. - student2.ru , то

Общая схема исследования функций. - student2.ru , Общая схема исследования функций. - student2.ru , Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Градиентом функции Общая схема исследования функций. - student2.ru называется вектор

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Производной функции Общая схема исследования функций. - student2.ru по направлению вектора Общая схема исследования функций. - student2.ru , где Общая схема исследования функций. - student2.ru , называется число

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Теорема о полном дифференциале гласит, что

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Поэтому

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Если Общая схема исследования функций. - student2.ru , то для взятия производной по направлению нужно предварительно нормировать вектор Общая схема исследования функций. - student2.ru , поделив его на длину Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Касательная к кривой, заданной неявным уравнением Общая схема исследования функций. - student2.ru , в точке Общая схема исследования функций. - student2.ru определяется уравнением

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Нормаль к той же кривой определяется уравнением

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Задача 3.1. Найти градиент функции Общая схема исследования функций. - student2.ru в точке (1,5).

Решение. Имеем:

Общая схема исследования функций. - student2.ru Подставляя 1 вместо Общая схема исследования функций. - student2.ru и 5 вместо Общая схема исследования функций. - student2.ru , получим

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Аналогично,

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

откуда Общая схема исследования функций. - student2.ru . Окончательно,

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Задача 3.2. Вычислить производную функции Общая схема исследования функций. - student2.ru по направлению вектора Общая схема исследования функций. - student2.ru в точке (1,1).

Решение.Длина вектора Общая схема исследования функций. - student2.ru равна Общая схема исследования функций. - student2.ru , поэтому перейдем к вектору Общая схема исследования функций. - student2.ru , имеющему то же направление, что и вектор Общая схема исследования функций. - student2.ru , но единичную длину. Далее,

Общая схема исследования функций. - student2.ru , Общая схема исследования функций. - student2.ru .

В точке имеем Общая схема исследования функций. - student2.ru . По определению производной по направлению получаем:

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Задача 3.3. Найти производные Общая схема исследования функций. - student2.ru функции Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Решение.Имеем:

Общая схема исследования функций. - student2.ru ,

Общая схема исследования функций. - student2.ru .

По определению вторых частных производных, имеем:

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Общая схема исследования функций. - student2.ru

Задача 3.4. Для кривой, задаваемой уравнением Общая схема исследования функций. - student2.ru , написать уравнения касательной и нормали в точке (1,1).

Решение. Подставим в уравнение касательной и нормали значения частных производных функции Общая схема исследования функций. - student2.ru в точке Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Общая схема исследования функций. - student2.ru , Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Уравнение касательной имеет вид:

Общая схема исследования функций. - student2.ru Û Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Уравнение нормали имеет вид

Общая схема исследования функций. - student2.ru Û Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Неопределенные интегралы.

Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.

Определение 1. Функция Общая схема исследования функций. - student2.ru называется первообразной для функции Общая схема исследования функций. - student2.ru , если Общая схема исследования функций. - student2.ru .

У функции Общая схема исследования функций. - student2.ru имеется бесконечное множество первообразных, при этом все они отличаются друг от друга на константу: если Общая схема исследования функций. - student2.ru и Общая схема исследования функций. - student2.ru - две первообразные для функции Общая схема исследования функций. - student2.ru , то Общая схема исследования функций. - student2.ru , где С=const.

Определение 2. Множество всех первообразных для функции Общая схема исследования функций. - student2.ru называется неопределенным интегралом от Общая схема исследования функций. - student2.ru и обозначается символом Общая схема исследования функций. - student2.ru .

Если Общая схема исследования функций. - student2.ru - любая первообразная для Общая схема исследования функций. - student2.ru , то Общая схема исследования функций. - student2.ru , где С = const.

Наши рекомендации