И частотных характеристик в Simulink

Цель работы:

– определение постоянных времени реального объекта по коэффициентам дифференциальных уравнений в пакете Simulink;

– экспериментальное определение АФХ реальных объектов в пакете Simulink.

Теоретическое обоснование

При наладке и расчетах промышленных систем регулирования необходимо знать параметры объекта: коэффициенты усиления, постоянные времени. Очень часто поведение объекта регулирования описывается линейными (линеаризованными) дифференциальными уравнениями первого, второго или третьего порядка, а коэффициенты этих уравнений определяют по экспериментальным данным. На вход системы подают ступенчатое воздействие, на выходе объекта регистрируют выходную величину, называемую кривой разгона. По кривой разгона определяют коэффициенты дифференциальных уравнений. Наибольшее распространение получил метод площадей.

Например, объект описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, коэффициенты которого не известны

, (2.1)

где a₁, a₂, a₃ – коэффициенты, значение которых определяют в результате эксперимента.

Для определения коэффициентов к уравнению (2.1) применяют оператор

(2.2)

и подают на вход линейной системы ступенчатое воздействие

,

тогда

. (2.3)

Множитель e^–st представляют рядом Тейлора, приравнивают левую и правую части выражения (2.3) при одинаковых степенях s и получают

(2.4)

Из (2.4) следует ряд соотношений. При s⁰ (нулевой степени)

(2.5)

где F₁ – интегральная площадь первого порядка, k – коэффициент усиления объекта.

При s¹ (первой степени)

(2.6)

где F₂ – интегральная площадь второго порядка.

Для определения коэффициента a₃ приравнивают левую и правую часть уравнения (2.4) при s² второй степени

(2.7)

где – интегральная площадь третьего порядка.

Рекуррентные соотношения (2.5), (2.6) и (2.7) позволяют вычислить каждый последующий коэффициент дифференциального уравнения через предыдущие коэффициенты. Это является недостатком метода площадей, так как ошибки определения первых коэффициентов существенно влияют на точность определения последующих.

Частотные характеристики линейных систем

Частотные характеристики широко используются при теоретических и экспериментальных исследованиях систем автоматического регулирования. По ним можно произвести исследование систем на устойчивость, оценить качество переходных процессов и выбрать корректирующие устройства.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) может быть получена из передаточных функций при выполнении подстановки s = jω

, (2.8)

где a_i, b_i – коэффициенты полинома числителя и знаменателя, соответственно; m, n – степень полинома числителя и знаменателя, соответственно.

Для конкретного значения частоты комплексная функция (2.8) превращается в вектор. Вектор на комплексной плоскости можно задать в алгебраической, показательной или тригонометрической форме.

АФХ можно определить экспериментальным путем, подав на вход звена или системы гармонические колебания и измерив реакцию системы. На выходе системы в установившемся режиме появляются колебания с частотой тестового сигнала, но с измененной амплитудой и фазой. Параметры выходного сигнала (проекции на оси координат или амплитуда и фаза) определяют точку на АФХ. Подавая на выход исследуемой системы ряд частот, получают на выходе ряд векторов. Плавно соединяя концы векторов, получают АФХ. При этом значение вектора АФХ определяется выражением:

, (2.9)

где А – амплитуда входного сигнала.

Фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному определяется как

, (2.10)

где Re(jw), Im(jw) – действительная и мнимая составляющие АФХ звена или системы, соответственно.

Для сложных объектов систем аналитическое определение АФХ затруднительно. Поэтому на практике используют экспериментальные методы, согласно которым параметры АФХ определяются путем представления выходного сигнала объекта регулирования коэффициентами Фурье

, (2.11)

. (2.12)

где X_вых – это выходной (стационарный сигнал) системы.

При определении АФХ без выделения периода интегрирования выходной сигнал имеет вид Х_вых = А₁sin (wt – j) и из выражений (2.11) и (2.12)

, (2.13)

. (2.14)

Первые составляющие правых частей выражений (2.13) и (2.14) определяют проекции вектора АФХ на действительную и мнимую оси, соответственно. Вторые составляющие этих выражений являются гармоническими функциями, относительная величина которых уменьшается с увеличением t. Для повышения точности определения составляющих векторов АФХ следует время интегрирования выбрать достаточно большим (6 – 10 периодов).

Описание работы

Параллельно исследуемому объекту включают эталонную модель нулевого порядка (рис. 2.1), на вход модели и объекта (выделен цветом) подают ступенчатое воздействие.

Рис. 2.1. Структурная схема системы для определения коэффициента

дифференциального уравнения при первой производной

На выходе получают

(2.15)

Так как выходной сигнал элемента сравнения подают на интегратор, а в установившемся режиме все производные обращаются в ноль (s = 0), то а₁ = Т₁, где Т₁ – показания измерительного прибора.

С учетом найденного значения а₁ составляют новую структурную схему для определения коэффициента а₂ (рис. 2.2)

Рис. 2.2. Структурная схема системы для определения коэффициента

дифференциального уравнения при второй производной

(2.16)

Выходной сигнал элемента сравнения подают на два последовательно включенных интегратора, в установившемся режиме s = 0 и из (2.16)

a₂ = T₂,

где T₂ – показания прибора для структурной схемы (рис. 2.2).

С учетом найденных коэффициентов a₁ и a₂ структурная схема для определения коэффициента a₃ выглядит следующим образом (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Структурная схема системы для определения коэффициента

дифференциального уравнения при третьей производной

Последовательное интегрирование сигнала ошибки дает возможность получить новое выражение для определения коэффициента a₃

а₃ = T₃,

где T₃ – показания прибора для структурной схемы (рис. 2.3)

(2.17)

Проверку погрешности реализации метода в пакете Simulink проводят по схеме на рис.2.4а. Результаты моделирования приведены на рис. 2.4б, в, г.

Точность определения коэффициентов дифференциального уравнения зависит от времени моделирования, которое должно составлять не менее 50 с.

Векторы АФХ определяют в виде проекций на действительную и мнимую оси. На рис. 2.5 с использованием блоков MatLab представлена структурная схема, реализующая выражение (2.11) и (2.12). Устройство содержит 1 – блок формирования синусоидального сигнала; 2 – исследуемый объект; 3, 4 – блоки умножения; 5, 6 – блоки задания периодов; 7, 8 – пороговые устройства, определяющие период интегрирования; 9, 10 – интеграторы; 11, 12 – блоки, фиксирующие результаты измерения; 13 – блок задания коэффициента 2/Т_П; 14 – блок обнуления пороговых устройств; 15 – сумматор; 16 – блок формирования косинусного сигнала.

Настройки блоков определяются выражениями (2.11) и (2.12). Блок 1 задает частоту w и амплитуду А тестового сигнала. Так как АФХ строится как отношение амплитуд выходного сигнала к амплитудам входного сигнала, то для упрощения расчетов принимают, что X_вх = 1. Блок 13 задает коэффициент, стоящий перед интегралом Фурье. Блок 15 определяет косинусную составляющую блока умножения 4. Его можно получить из блока Sine Wave путем ввода фазового сдвига π/2.

а)

б) в) г)

Рис. 2.4. Проверка погрешности нахождения коэффициентов дифференциального уравнения

Рис. 2.5. Структурная схема построения АФХ

непрерывной системы с определением периода интегрирования

Выражения (2.11) и (2.12) определяют точки АФХ в установившемся режиме. Блоки 5, 6, 15 определяют период интегрирования. Затем, через переключатели 7 и 8, на время интегрирования блоки умножения 3 и 4 соединяются с интеграторами 9 и 10. Показания интеграторов фиксируются блоками 11 и 12 (рис. 2.5).

На рис. 2.6 по выражениям (2.16) и (2.17) представлена структурная схема устройства для определения АФХ по упрощенному алгоритму.

Рис. 2.6. Структурная схема устройства для определения АФХ

без определения периода интегрирования

Настройка устройства включает следующие операции:

– по частоте тестового сигнала задают время моделирования;

– в блок Constant вносят константу равную половине времени моделирования.

Задание

1. Для индивидуального задания определить коэффициенты дифференциального уравнения, используя подстраиваемую модель (рис. 2.1 – 2.3).

2. Сравнить передаточную функцию индивидуального задания и полученную передаточную функцию (рис. 2.4).

3. Для индивидуального задания построить схему формирования АФХ непрерывной системы с определением периода интегрирования (рис. 2.5).

4. Для индивидуального задания построить схему формирования АФХ непрерывной системы без определения периода интегрирования (рис. 2.6).

Содержание отчета

1. Структурные схемы определения коэффициентов дифференциальных уравнений по индивидуальному заданию

2. Структурные схемы определения АФХ по индивидуальному заданию

3. Графики погрешностей определения коэффициентов дифференциальных уравнений

4. Графики АФХ.

Контрольные вопросы

1. Обоснуйте методику определения коэффициентов дифференциальных уравнений методом площадей.

2. Обоснуйте методику определения коэффициентов дифференциальных уравнений с использованием подстраиваемых моделей.

3. Обоснуйте структурную схему устройства, позволяющую определить коэффициенты дифференциальных уравнений с использованием подстраиваемых моделей для передаточной функции второго порядка.

4. Обоснуйте структурную схему устройства, позволяющую определить коэффициенты дифференциальных уравнений с использованием подстраиваемых моделей для передаточной функции третьего порядка.

5. Как изменяются параметры гармонического сигнала при прохождении через линейное звено?

6. Как строится амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)?

7. Как определяются проекции векторов выходных сигналов?

8. Каким образом результаты данной лабораторной работы можно использовать при определении АФХ реальных блоков систем регулирования?

9. Какие приборы необходимы для того, чтобы определить АФХ реальных блоков систем регулирования?

Лабораторная работа № 3