Исследование формы гиперболы по ее уравнению.
Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению (4).
1) Координаты точки О (0; 0) не удовлетворяют уравнению (4), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.
2) Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (4) у = 0, найдем х = ± а. Следовательно, гипербола пересекает ось Ох в точках A1 (a; 0) и А2 (–а; 0). Положив в уравнении (4) х = 0, получим у2 = – b2, а это означает, что система
не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Оу.
3) Так как в уравнение (4) переменные х и у входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.
4) Определим область изменения переменных х и у;для этого из уравнения (4) находим
, (5)
. (6)
Из (5) следует, что |х| ≥ а, т.е. х ≥ а или х ≤ –а; из (6) следует, что у – любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева oт прямой х = – а и справа от прямой х = а.
5) Из (5) следует также, что
у → ± ∞ при х → + ∞.
у → ± ∞ при х → – ∞.
Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы), а другая – слева от прямой х = – а (левая ветвь гиперболы).
Рис. 2
Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 2.
Определение 4. Точки А1 (а; 0) и А2 (а; 0) пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 (A1A2=2a),соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью.Отрезок B1B2 (B1B2=2b), соединяющий точки B1 (0; b) и В2 (0; –b), называется мнимой осью.Число а называется действительной полуосью, число b – мнимой полуосью.Оси А1А2 и В1В2 являются осями симметрии гиперболы. Точка О пересечения осей симметрии называется центром гиперболы.
У гиперболы (4) фокусы F1 и F2 всегда находятся на действительной оси.
Можно показать (так же, как и в случае эллипса), что фокальные радиусы для точки М (х; у), расположенной на правой ветви гиперболы, вычисляются по формулам
и , (7)
а для точки М (х; у), расположенной на левой ветви, – по формулам
и . (8)
Асимптоты гиперболы.
Определение 5. Прямая y=kx+m называется наклонной асимптотойкривой y = f(x) при х → +∞,если
. (9)
Аналогично определяется асимптота при х → –∞. Докажем, что прямые
(10)
являются асимптотами гиперболы (4) при х → ±∞.
Рис. 3
Так как прямые (10) и гипербола (4) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 3). Напишем уравнения прямых (10) и гиперболы (4), соответствующие первой четверти:
,
.
Положив и , найдем
Следовательно, прямые (10) являются асимптотами гиперболы (4).
Отметим, что асимптоты (10) являются продолжениями диагоналей прямоугольника, стороны которого параллельны осям Ох и Оу и равны соответственно 2а и 2b, а его центр находится в начале координат.
Рис. 4
При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис. 4).
Эксцентриситет гиперболы.
Определение 6. Эксцентриситетом гиперболыназывается отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси и обозначается буквой ε:
(11)
5. Сопряженная гипербола. Рассмотрим уравнение вида
. (12)
При переходе к новой системе координат, полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = 90° (или α = –90°), уравнение (12) преобразуется в уравнение гиперболы
Следовательно, кривая, определяемая уравнением (12), есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а – на оси Ох.
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
и
в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях а и b, называются сопряженнымидруг с другом.
Равносторонняя гипербола.
Определение 7. Гипербола называется равносторонней,если длины ее полуосей равны между собой, т.е. а=b. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид
,
или
. (13)
Равносторонняя гипербола определяется одним параметром а и асимптотами являются биссектрисы координатных углов
.
У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет
Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Ox'y', полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = –45° (рис. 5). Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Ох'у'.
Учитывая равенство (13), получим x'y' = а2/2. (14)
Рис. 5
Определение 8. Уравнение (14) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.
Из уравнения (14) следует, что переменные х' и у' – величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратной пропорциональной зависимости.
Если центр гиперболы находится не в начале координат, а в точке О'(х0; у0), а оси гиперболы параллельны осям координат, то уравнение гиперболы будет иметь вид
или (15)
Это уравнения гиперболы со смещенным центром.
«Парабола»