Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных)

Производной функцией Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru в точке x0называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Производная функции f(x) есть некоторая функция f’(x), произведенная из данной функции.

Функция Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называют дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru в точке x=x0 обозначается одним из символов: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Правило непосредственного нахождения производных:

· аргументу Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru дадим приращение Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru ;

· найдем соответствующее приращение функции: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru ;

· составим отношение приращения функции к приращению аргумента: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru ;

· найдем предел этого отношения при Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru .

Если этот предел существует, то его называют производной функцией f(x) и обозначают одним из символов: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

44. *Геометрический и механический смысл производной.

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

45. *Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

46. *Основные теоремы о производных

Теорема(производная суммы) : Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Теорема(производная произведения) :

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Теорема(производная частного) :

Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Пусть Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru и Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru тогда Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru - сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х

Теорема(производная сложной функции) :

Если функция Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru имеет производную Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru в точке х, а функция у = f(u) имеет производную у'и в соответствующей точке Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru , то сложная функция Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru имеет производную Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru в точке x1, которая находится по формуле Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Теорема(производная обратной функции) :

Если функция Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru в произвольной точке интервала, то обратная ей функция Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru также имеет производную Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru в соответствующей точке, определяемую равенством Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru или Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru .

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Задана неявно:

Если функция задана уравнением у = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru , не разрешенного относительно y.

Алгоритм:

1) Дифференцируем заданное уравнение F(x,y)=0 по х, учитывая что х – независимая переменная, у – ее функция.

2) Результат дифференцирования разрешаем относительно искомой производной Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Задана параметрически:

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Найдем производную Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru , считая, что функции имеют производные и что функция x=x(t) имеет обратную Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru . По правилу дифференцирования обратной функции получаем: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru .

Функцию y=f(x) определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Получаем: Производная функция (определение, правило непосредственного нахождения производных) - student2.ru

Наши рекомендации