Угол между прямыми на плоскости.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Рассмотрим на плоскости две прямые R1 : y = k1x + b1 и R2 : y = k2x + b2 с углами наклона к оси Ox соответственно φ1 и φ2 (рис.2.4).

Определение 2.2. Углом между прямымиR1 и R2 будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми.

На рис.2.4 таким является угол φ. Очевидно, что

0 ≤ φ ≤ Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами φ1, φ2 и φ : φ = φ2 – φ1. Возможны два случая:

1) Угол φ = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , т.е. прямые R1 и R2 перпендикулярны.

2) 0 ≤ φ < Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Тогда tg φ = tg (φ2 – φ1) = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Формула

tg φ = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , где Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru (7)

позволяет вычислить угол между неперпендикулярными прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

1) Если прямые R1 и R2 параллельны, то φ = 0. Тогда tg φ = 0 и из формулы (7) имеем k2 - k1 = 0 или k2 = k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.

2) Если прямые R1 и R2 перпендикулярны, то φ = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Так как φ = φ2 – φ1 , то

φ2 = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru + φ1 и tg φ2 = tg( Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru + φ1) = ctg φ1 = - Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , т.е.

k2 = - Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . (8)

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема 3.1.Расстояние d от данной точки М(х00) до прямой ℓ, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0 на плоскости определяется формулой

d = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . (1)

Доказательство. Пусть в прямоугольной системе координат прямая ℓ имеет уравнение Ах + Ву + С = 0, а точка М ─ координаты (х00). Возьмём на прямой ℓ две произвольные точки Е(х11) и F(х22). Нетрудно заметить, что

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru d = h = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

По формуле (6) лекции 1 имеем

SMEF = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru │(x2 – x1)(y0 – y1) – (x0 – x1)(y2 – y1)│.

По формуле расстояния между точками на плоскости

EF = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Тогда

d = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . (2)

Запишем уравнение прямой ℓ по двум точкам E и F:

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Преобразуем это уравнение в общее уравнение прямой:

(у – у1)(х2 – х1) = (х – х1)(у2 – у1),

2 – у1)х + (х1 – х2)у + (у12 – х1) – х12 – у1)) = 0.

По условию, общее уравнение прямой ℓ имеет вид Ах + Ву + С = 0, следовательно,

А = m(y2 – y1),

B = m(x1 – x2),

C = m(у12 – х1) – х12 – у1)).

для некоторого целого числа m ¹ 0.

Тогда из (2) имеем

d = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ==

= Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru =

= Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы своими общими уравнениями. Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у:

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru (3)

Решаем эту систему:

а)

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

1В2 – А2В1)у = С1А2 – А1С2 . (4)

б)

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru (5)

Возможны следующие случаи:

1) А1В2 – А2В1 ¹ 0 т.е. А1В2 ¹ А2В1 Þ Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Тогда из формул (4) и (5) находим единственное решение системы (3):

х = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , у = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . (6)

Единственное решение системы (3) означает, что прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются. Формулы (6) дают координаты точки пересечения.

2) А1В2 – А2В1 = 0 т.е. А1В2 = А2В1 Þ Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

2.1) С2В1 – С1В2 = 0 и С1А2 – А1С2 = 0.

Тогда А1В2 = А2В1, С2В1 = С1В2 и С1А2 = А1С2, откуда Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Таким образом, Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Тогда А1 = kA2, B1 = kB2, C1 = kC2. Теперь, уравнение прямой ℓ1 имеет вид:

kA2x + kB2y + kC2 = 0

или

A2x + B2y + C2 = 0.

Следовательно, прямые ℓ1 и ℓ2, имея одно и то же уравнение, совпадают.

2.2) С2В1 – С1В2 ¹ 0 или С1А2 – А1С2 ¹ 0.

Пусть, для определённости С2В1 – С1В2 ¹ 0, т.е. С2В1 ¹ С1В2 Þ Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Тогда равенство (5) имеет вид 0 × х = С2В1 – С1В2. Следовательно, это уравнение, а значит и система (3) решений не имеет. Это означает, что прямые ℓ1 и ℓ2 на плоскости не пересекаются, т.е. они параллельны. Аналогичный вывод можно сделать в случае, когда С1А2 – А1С2 ¹ 0.

Итак, если:

1) Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , то прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются в точке с координатами (6);

2) Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , то прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны;

3) Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , то прямые ℓ1 и ℓ2 совпадают.

Эллипс. Окружность.

Определение 4.1. Эллипсомназывается множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Пусть F1(-c,0) и F2(c,0) ─ фокусы. Тогда F1F2 = 2c ─ фокусное расстояние(рис.4.1). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении эллипса, обозначим 2a.

Пусть M(x,y) ─ произвольная точка эллипса. Тогда по определению F1M + F2M = 2a > 2c, откуда a > c.

Так как F1M = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , F2M = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , то имеем уравнение Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru + Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = 2a.

Преобразуем это уравнение:

( Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru )2 = (2a − Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru )2 ,

(x2 + 2cx + c2) + y2 = 4a2 – 4a Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru + (x2 –­ 2cx + c2) + y2,

a Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = a2 – cx.

Возводя в квадрат последнее уравнение, имеем

a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2cxa2 + c2x2,

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2).

Так как a > c, то a2 – c2 > 0 и можем обозначить b2 = a2 – c2. Тогда

b2x2 + a2y2 = a2b2,

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = 1 (1)

Таким образом, координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (1).

Покажем обратное: если координаты точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (1), то точка M лежит на эллипсе.

Из (1) найдём y2 : y2 = b2(1 - Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ).

Тогда F1M = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = │ Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Т.к. c < a и из (1) Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ≤ 1, т.е. x2 ≤ a2 , │x│ ≤ a, то Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru . Следовательно,

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru │= Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Аналогично можно вычислить

F2M = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Теперь

F1M + F2M = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Из уравнения (1) : b2 > 0 Þ a2 – c2 > 0, т.е. a > c, откуда 2a > 2c. Значит, точка M лежит на эллипсе.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса.Изображён эллипс с уравнением (1) на рис 4.2.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса.Оси симметрии эллипса (оси Ox и Oy) называют осями эллипса. Точка пересечения осей ─ центр эллипса. Осяминазывают также отрезки A1A, B1B. Отрезки OA, OB и их длины называют полуосями. В нашем случае a > b, поэтому а называют большой полуосью,b ─ малой полуосью. Эксцентриситетом эллипсаназывается отношение фокусного расстояния к длине большой оси, т.е.

ε = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Так как 0 Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru c < a, то 0 Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ε < 1. Фокальными радиусами точки Mназывают отрезки F1M и F2M. Их длины r1 и r2 вычисляют по формулам

r1 = a + εx,

r2 = a – εx.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Уравнение (1) можно рассматривать и в случае, когда b > a, оно определяет эллипс с большой полуосью OB = b, фокусы такого эллипса лежат на оси Oy, причём a2 = b2 – c2.

В случае, когда a = b, уравнение (1) принимает вид

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = 1 или x2 + y2 = a2

и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат (рис.4.3). В этом случае c = 0, поэтому ε = 0.

Из школьного курса известно уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0(x0,y0):

(x – x Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ) Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru +(y – y Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ) Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru =R Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Такое уравнение называют каноническим уравнением окружности.

Гипербола.

Определение 4.2. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Пусть F1(-c,0) и F2(c,0) ─ фокусы. Тогда F1F2 = 2c ─ фокусное расстояние (рис.4.4). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении, обозначим 2a. Тогда по определению 2a < 2c, т.е. a < c.

Пусть M(x;y) ─ произвольная точка гиперболы. Рассуждая по аналогии с п. 4.1, можем получить уравнение

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = 1, (2)

где b2 = c2 – a2.

Уравнение (2) называют каноническим уравнением гиперболы. Гипербола с уравнением (2) изображена на рис.4.5.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Прямоугольник MNKL, стороны которого MN = LK = 2a, ML = NK = 2b, называется основным прямоугольником. Прямые MK и NL называют асимптотами гиперболы,их уравнения : y = – Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru x и y = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru x, соответственно. Гипербола имеет две ветви: левую и правую. Центр симметрии гиперболы называется её центром. Оси симметрии гиперболы называются её осями. Одна ось пересекает гиперболу в двух точках (на рис.4.5 это т. A1 и A2), эта ось называется действительной осью гиперболы,другая ось ─ мнимой осью, она не имеет общих точек с гиперболой. Длины отрезков A1A2 и B1B2 также называют осями. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, то гипербола называется равносторонней,её уравнение

x2 – y2 = a2.

Уравнение

- Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = 1 (3)

определяет гиперболу с действительной осью Oy (рис.4.6).

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Гиперболы, определяемые уравнениями (2) и (3) в одной и той же системе координат, называются сопряжёнными. Эксцентриситет гиперболы─ это отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинамигиперболы (т.е. точками пересечения гиперболы с осями). Для уравнения (2)

ε = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru .

Так как c > a, то ε > 1. Фокальные радиусы точки M гиперболы─ это отрезки F1M и F2M. Их длины r1 и r2 для правой ветви

r1 = εx + a, r2 = εx – a,

для левой ветви

r1 = -εx − a, r2 = - εx + a.

Парабола.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Определение 4.3. Параболойназывается множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, и не проходящей через фокус.

Возьмём в прямоугольной системе координат точку F( Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ,0), где p > 0 и пусть она будет фокусом. Директрисой будет прямая x = - Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru (рис.4.7). Пусть M(x,y) ─ произвольная точка параболы. Если K ─ основание перпендикуляра из точки M к директрисе, то она имеет координаты (- Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ,y). По определению 4.3

MK = MF.

Тогда

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , т.к. x ≥ 0.

Возводим уравнение а квадрат и приводим подобные члены:

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru ,

y2 = 2px (4)

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Уравнение (4) называется каноническим уравнением параболы. Величину p называют параметром параболы. Парабола с уравнением (4) изображена на рис.4.8. Точка O называется вершиной параболы,ось симметрии ─ осью параболы. Если парабола имеет уравнение y2 = - 2px, то её график расположен слева от оси Oy (рис.4.9). Уравнения x2 = 2pyи x2 = -2py, p > 0 определяют параболы, изображённые на рис.4.10 и рис.4.11, соответственно.

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru

Понятие о матрице.

Таблица чисел аik вида

Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , (1)

состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера m × n. Числа аik называются её элементами. Если m ¹ n, то матрица называется прямоугольной.Если же

m = n, то матрица называется квадратной.В частности, если m = 1, n > 1, то матрица

11 а12 … а1n) называется матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом.

Число строк в квадратной матрице называют порядком такой матрицы. Например, матрица Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru есть квадратная матрица второго порядка, а матрица Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru есть квадратная матрица третьего порядка.

Матрицы будем обозначать большими латинскими буквами. Две матрицы A и B называются равными (А = В), если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. Так, если А = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru , В = Угол между прямыми на плоскости. - student2.ru и а11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22, то А = В.

Наши рекомендации