Виды уравнения плоскости в пространстве.
Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:
ax + by + cz + d = 0. |
Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду
a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0. |
Уравнение
называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Нормаль к плоскости имеет координаты
Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется
Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно
В интерактивном режиме можно выбрать опции Плоскость и точка или Две плоскости. В первой опции пользователю демонстрируется расстояние от точки до плоскости. Указанное расстояние и уравнения плоскости в различном виде можно увидеть в окне вывода. Во второй опции показывается угол между двумя плоскостями.
Переключившись в демонстрационный режим при помощи кнопки со значком кинопроектора, можно просмотреть анимацию. Кнопка Старт запускает ее, кнопка Стоп – приостанавливает, а кнопка Сброс возвращает анимацию в исходное состояние. Кнопка со значком руки переводит модель обратно в интерактивный режим.
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Кривые второго порядка на плоскости.
49. Построение кривых второго порядка.
Двойной интеграл.
Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле
51. Вычисление двойного интеграла.
Комплексные числа , — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица[3].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике,гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Алгебраическая форма:
Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):