Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины.

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Постановка задачи. Пусть имеется пластина, размер которой вдоль оси х равен 2 Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru . Размеры пластины в направлении осей y и z неограниченны, т.е. температура пластины изменяется только в направлении оси х. Пластина помещается в среду,

температура которой Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru = const. В начальный момент времени (t = 0) температура

в пластине распределена равномерно и равна Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru , ( Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru > Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru ), т.е. рассматриваем процесс охлаждения пластины. Все рассуждения и полученный результат будут верны и для процесса нагревания. Теплообмен с обеих поверхностей пластины одинаковый, коэффициент теплоотдачи a = const. В этом случае температурное поле будет симметричным относительно середины пластины. Теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала пластины не зависят от температуры. Необходимо найти закон распределения температуры по толщине пластины и количество теплоты, отводимой с поверхности пластины, за любой промежуток времени. Обозначим избыточную температуру в любой точке тела в произвольный

момент времени через Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru . При t = 0 Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru . Для нахождения закона распределения температуры по толщине пластины в любой момент времени запишем дифференциальное уравнение теплопроводности, учитывая, что

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru . Согласно условию задачи уравнение

теплопроводности будет иметь вид

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru или Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru .Для решения этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных.

Представим искомую функцию Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru в виде произведения T (t) и L (x): Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru Первый множитель зависит только от времени, а второй – только от координаты.

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Дифференцируя выражение, найдем ; ; .

Подставим эти значения в решение, получим

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru или .Левая часть этого уравнения есть функция от времени (t ), а правая – от координаты (x). Значит, обе части должны быть равны некоторой постоянной величине, которую обозначим через (минус

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru ).

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Тогда или ,

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

или . Это система обыкновенных дифференциальных уравнений, общие решения

которых известны:

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru . Общее решение будет иметь вид

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

. Для нахождения частного решения необходимо определить

постоянные интегрирования ( Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru и Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru ), а также k. Для этого запишем начальные и граничные условия: при t = 0

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru ; при x = 0 ; при x = ± d . Решая эту задачу,получаем уравнение

температурного поля в бесконечной пластине в виде

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

, где .

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Запишем формулу в безразмерной форме. Обозначим , , – соответственно

безразмерные координата, температура, безразмерные числа Фурье и Био.

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

.Анализ формулы показывает, что чем больше номер ряда, тем меньшую долю вносит член в общую сумму ряда, т.е.

ряд быстро сходится, особенно при Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru ³ 0,3. При этом распределение температуры достаточно точно описывается первым

членом ряда:

.

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Пользование полученным уравнением на практике

затруднительно. Поэтому с помощью формулы построены

графики (номограммы). Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru = ¦(X, Fо, Bi), использование которых сводит расчеты к довольно простым операциям. Для практики часто бывает достаточно контролировать температуру тела в его центре или на поверхности и по изменению ее величины судить о процессе нагревания (охлаждения). Безразмерную температуру в центре пластины (x = 0, X = 0) можно определить по формуле

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

, а на поверхности пластины ( x = d , X = 1)

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru .

Первые сомножители в этих выражениях зависят только от Bi. Обозначим их следующим образом:

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

,

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

, тогда

,

. Прологарифмируем последние два выражения

, Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru .

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Графически эти зависимости представлены на номограммах. Пользуясь этими номограммами, можно легко найти температуру в центре и на поверхности бесконечной пластины (такие же номограммы имеются и для бесконечного цилиндра и шара) в любой момент времени. Для этого необходимо рассчитать безразмерные числа Bi и Fо и отложить их

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

значения на соответствующей номограмме. Точка пересечения даст величину безразмерной температуры .

Зная Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru , можно вычислить размерную температуру Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru .

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

Физический смысл безразмерных чисел

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru и

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru .

характеризует соотношение между

Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины. - student2.ru

термическими сопротивлениями теплопроводности и теплоотдачи.

характеризует безразмерное время.


Наши рекомендации