Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.
Запишем выражение первого закона термодинамики для процесса теплопроводности, протекающего в течение элементарно малого промежутка времени dτ: dU = dQ* − dL
Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме; dQ* – количество тепла, вносимого в объем теплопроводностью; dL – работа, совершаемая элементом против внешних сил. Отметим, что
dL = pd (dV) = 0, (dV = dx dy dz) ,поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечномалая величина второго порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда предыдущая формула упрощается:
dU = dQ*(1). Из термодинамики известно,чтоdU = c dmdτt = cρdV · ∂t/∂τ·∂τ,Величину dQ*представим тремя слагаемыми dQ* = dQ*x + dQ*y + dQ*z (2),и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению х. Если через qx и qx + dx обозначим удельные тепловые потоки, направленные по оси х, первый из которых входит в элемент, а второй – выходит из него (см. рис. 2.4), то количество тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направлению х, будет: dQx* = qx dy dz dτ − qx+dx dy dz dτ =(qx − qx+dx )dy dz dτ.Поскольку функция qx = f (x)непрерывна(для распространения тепла нетпрепятствий), то связь между предыдущим значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тейлора. Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких
порядков малости. Тогда формулу можно переписать: . Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по структуре выражения для * ydQ и * dQz . Тогда
формула (2) может быть представлена так: , Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией вектора и обозначают словом div. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому: dQ* = –divq – dV dτ (3). Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на
координатные оси дает: , Подставляя эти выражения, получим:
, Подставим теперь в формулу (1) значения dU
и dQ* , соответственно. После сокращения получаем: , Если преобразовать формулу (3), то
дифференциальное уравнение теплопроводности можно получить в виде: , Это более общая запись,
в ней не предполагается, что λ = const. Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей называют оператором Лапласа и обозначают для краткости символами ∇ 2. Множитель λ /(сρ), составлен из физконстант и представляет собою некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способность тел проводить тепло и одновременно аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику называют коэффициентом температуропроводности а: a = λ / (сρ), поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке тела. Коэффициент а имеет важное значение только для нестационарных процессов. В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно: ∂t / ∂τ = a∇ 2t. Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по времени (левая часть) в окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения всего класса задач теплопроводности. Часто это уравнение называют дифференциальным уравнением Фурье.