Понятие определителя матрицы

Определение

Квадратной матрице Понятие определителя матрицы - student2.ru Понятие определителя матрицы - student2.ru -го порядка ставиться в соответствие число Понятие определителя матрицы - student2.ru , называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей:

Замечание

Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.

1° При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: Понятие определителя матрицы - student2.ru

Пример

Известно, что определитель матрицы Понятие определителя матрицы - student2.ru равен 3. Тогда определитель матрицы Понятие определителя матрицы - student2.ru , которая равна Понятие определителя матрицы - student2.ru , также равен 3.

2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

Понятие определителя матрицы - student2.ru

Понятие определителя матрицы - student2.ru

То есть, если квадратная матрица Понятие определителя матрицы - student2.ru Понятие определителя матрицы - student2.ru -го порядка умножается на некоторое ненулевое число Понятие определителя матрицы - student2.ru , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы Понятие определителя матрицы - student2.ru на число Понятие определителя матрицы - student2.ru в степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы Понятие определителя матрицы - student2.ru третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы Понятие определителя матрицы - student2.ru .

Решение. По свойству Понятие определителя матрицы - student2.ru

Ответ. Понятие определителя матрицы - student2.ru

4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

Понятие определителя матрицы - student2.ru

5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

Понятие определителя матрицы - student2.ru

6° Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

Понятие определителя матрицы - student2.ru

7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

Понятие определителя матрицы - student2.ru

8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

Понятие определителя матрицы - student2.ru

9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка Понятие определителя матрицы - student2.ru . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

Понятие определителя матрицы - student2.ru

10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

Понятие определителя матрицы - student2.ru

11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей: Понятие определителя матрицы - student2.ru

Минор и алгебраическое дополнение

Минор

Определение

Минором Понятие определителя матрицы - student2.ru к элементу Понятие определителя матрицы - student2.ru определителя Понятие определителя матрицы - student2.ru -го порядка называется определитель Понятие определителя матрицы - student2.ru -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием Понятие определителя матрицы - student2.ru -той строки и Понятие определителя матрицы - student2.ru -того столбца.

Пример

Задание. Найти минор Понятие определителя матрицы - student2.ru к элементу Понятие определителя матрицы - student2.ru определителя Понятие определителя матрицы - student2.ru .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

Понятие определителя матрицы - student2.ru

тогда Понятие определителя матрицы - student2.ru

Ответ. Понятие определителя матрицы - student2.ru

Алгебраическое дополнение

Определение

Алгебраическим дополнением Понятие определителя матрицы - student2.ru к элементу Понятие определителя матрицы - student2.ru определителя Понятие определителя матрицы - student2.ru -го порядка называется число Понятие определителя матрицы - student2.ru

Пример

Задание. Найти алгебраическое дополнение Понятие определителя матрицы - student2.ru к элементу Понятие определителя матрицы - student2.ru определителя Понятие определителя матрицы - student2.ru .

Решение. Понятие определителя матрицы - student2.ru

Ответ. Понятие определителя матрицы - student2.ru

Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам Понятие определителя матрицы - student2.ru -ой строки определителя равна определителю, в котором вместо Понятие определителя матрицы - student2.ru -ой строки записана "произвольная" строка.

Понятие определителя матрицы - student2.ru

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Понятие определителя матрицы - student2.ru


Наши рекомендации