Глава 2. принцип возможных перемещений

Общая формулировка принципа возможных перемещений

Принцип возможных перемещений (ПВП) выражает условие равновесия механической системы произвольного вида, находящейся под действием заданной системы активных сил и при заданных связях. Этот принцип впервые был сформулирован и доказан Лагранжем. Его также называют принципом Лагранжа или методом аналитической статики.

Для равновесия механической системы, подчиненной голономным, удерживающим, стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы на любом возможном перемещении системы из положения равновесия сумма элементарных работ всех сил, действующих на точки системы, равнялась нулю:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru (78)

Если связи, наложенные на механическую систему, являются идеальными, то работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю и при составлении уравнения (78) следует вычислять только работу активных сил, действующих на точки системы.

Пусть в равновесии находится механическая система, обладающая s степенями свободы. Тогда ее положение однозначно определяется обобщенными координатами глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , число которых равно s. Такой механической системе из положения равновесия можно придать s независимых возможных перемещений, при каждом из которых только одна обобщенная координата получает бесконечно малое приращение глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , а остальные обобщенные координаты остаются неизменными::

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Записав уравнение (78) для каждого из таких перемещений, получим s независимых уравнений равновесия, выраженных через обобщенные силы, в виде:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Так как глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , то уравнения равновесия системы в обобщенных силах примут вид

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru (79)

Таким образом, в положении равновесия механической системы все ее обобщенные силы равны нулю.

Пример 11 глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

На рис. 42 изображен находящийся в равновесии механизм, расположенный в горизонтальной плоскости. Трение в направляющих поршня С и шарнирах отсутствует. Заданы величина силы Q=200 Н,

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 42

коэффициент жесткости пружины с=5000 Н/м, глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , ОВ=АВ=l.

Требуется определить деформацию пружины h.

Решение

Механизм имеет одну степень свободы. Он находится в равновесии под действием заданной силы Q , приложенной к поршню С и силы упругости пружины, пропорциональной ее деформации F=ch. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота стержня ОА вокруг оси вращения глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , считая положительным направлением его отсчета поворот против часовой стрелки.

Решим задачу с помощью принципа возможных перемещений. Придадим механизму возможное перемещение, повернув стержень ОА вокруг оси вращения на угол глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Изобразим на рис. 42 схему возможного перемещения механизма, учитывая, что стержень ВС, совершающий плоское движение, повернется при этом перемещении на бесконечно малый угол глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru вокруг мгновенного центра скоростей, расположенного в точке А.

Уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, примет вид:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru (80)

Выразим входящие в это уравнение перемещения глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru через приращение обобщенной координаты глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru . Перемещение точки А

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru .

Учитывая, что треугольник АВС равносторонний, для перемещения точки С получим

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Подставляя эти значения перемещений и выражение для силы упругости в (80) и вынося глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru за скобки, получим

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Здесь выражение в скобках является обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru . Отсюда получим ответ задачи

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

2.2. Применение принципа возможных перемещений для определения опорных реакций в статически определимых конструкциях

Выше рассмотрен случай использования принципа возможных перемещений для изучения равновесия механизма, который допускает возможные перемещения. Однако ПВП удобно использовать и для нахождения реакций в статически определимых конструкциях, которые нельзя мысленно перемещать, не нарушая наложенных связей.

В этом случае ПВП используется в сочетании с аксиомой связей. При этом реальная конструкция заменяется конструкцией, в которой одна из связей отброшена и ее действие заменено соответствующими реакциями. Такая конструкция с отброшенной связью уже допускает возможные перемещения и имеет число степеней свободы, соответствующее количеству компонент отброшенной связи. Используя ПВП, для такой измененной конструкции можно составить независимые уравнения равновесия, позволяющие найти все реакции отброшенной связи. Как правило, такие уравнения равновесия получаются более простыми по сравнению с уравнениями равновесия классической статики.

Для нахождения реакций другой связи нужно аналогичным образом рассмотреть еще одну воображаемую конструкцию с другой отброшенной связью.

Отметим, что принцип возможных перемещений удобно использовать при нахождении реакций опор для плоских конструкций. В пространственных задачах статики возникают сложности, когда требуется наглядно изобразить возможные перемещения.

Поясним изложенное на конкретном примере.

Пример 12

Требуется найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции, изображенной на рис. 43. Заданы глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Размеры указаны на чертеже в метрах.

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 43

Решение

Непрерывно распределенную на участке ВС нагрузку заменим равнодействующей силой Q=q·2=3 кН, приложенной в середине участка BD. Далее, поочередно отбрасывая связи, будем составлять уравнения равновесия с помощью ПВП.

1. Отбросим вначале подвижную шарнирную опору в точке С, заменив ее действие реакцией глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru (см. рис. 44). Конструкция получает

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 44

при этом одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота балки ВС глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Такой конструкции можно придать одно независимое возможное перемещение, повернув балку ВС на угол глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru вокруг точки В. Вычислим теперь сумму работ всех действующих на конструкцию сил на указанном возможном перемещении и приравняем ее нулю:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Отсюда

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Так как глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru то, приравняв нулю выражение в скобках, найдем

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

2. Для нахождения реакций в промежуточном шарнире В расчленим конструкцию, мысленно отбросив этот шарнир и сохранив опоры в токах А и С. После этого правая часть конструкции останется жестко закрепленной с помощью заделки в точке А и не допускающей возможных перемещений. Левая часть конструкции, балка ВС, получит при этом две степени свободы. Изобразим эту балку вместе с действующими на нее силами на рис. 45. Действие шарнира В, эквивалентного неподвижной шарнирной опоре, заменим реакцией, разложенной на две составляющих глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru .

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 45

В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты точки В глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru . Не нарушая связи в точке С, придадим балке ВС два независимых возможных перемещения.

Первое из них получим, придав бесконечно малое приращение глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru обобщенной координате глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и оставляя фиксированным значение обобщенной координаты глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru . Плоское перемещение балки ВС при этом удобно представить как поворот на угол глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru вокруг мгновенного центра скоростей Р, лежащего на пересечении перпендикуляров к направлениям возможных перемещений точек С и В (см. рис. 46).

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 46

Составим уравнение принципа возможных перемещений:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Вынося за скобки глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , приравнивая нулю выражение в скобках и учитывая, что глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru , получим выражение

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Отсюда

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Второе независимое возможное перемещение (см. рис. 47) получим, зафиксировав обобщенную координату глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и придав бесконечно малое приращение глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru обобщенной координате глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru ( глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru ). В этом

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 47

случае мгновенный центр скоростей балки ВС совпадает с точкой С и уравнение принципа возможных перемещений запишется в виде:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Вынося за скобки глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и приравнивая нулю выражение в скобках, найдем

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

3. Для определения реакций заделки в точке А мысленно отбросим ее, заменив соответствующими реакциями глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru ( см. рис. 48 ). В

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 48

этом случае конструкция имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты точки А - глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и угол поворота уголка АВ - глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Далее последовательно придадим этой конструкции три независимых возможных перемещения.

Первое из них, характеризуемое приращением обобщенной координаты глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru при глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru схематически показано на рис. 49. Здесь уголок АВ перемещается поступательно в направлении оси x ( так как глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru ), поэтому глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Точка Р

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 49

является мгновенным центром скоростей звена ВС. Запишем для изображенного на рис. 49 возможного перемещения уравнение принципа Лагранжа:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Выразим глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru через приращение обобщенной координаты глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru :

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

(Строго говоря, глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru но для бесконечно малого угла глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru ). Подставив это значение глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru в уравнение принципа Лагранжа, получим

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Вынося далее глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru за скобки и приравнивая выражение в скобках нулю, найдем

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Второе независимое возможное перемещение рассматриваемой конструкции схематически показано на рис. 50. При этом перемещении

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Уголок АВ здесь перемещается

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 50

поступательно ( так как глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru ) вдоль оси y, а мгновенный центр скоростей балки ВС совпадает с точкой С. Приравнивая нулю сумму работ всех сил на этом перемещении, получим:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Здесь учтено, что перемещения точек приложения сил глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru равны глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Учитывая, что

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

вынося глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru за скобку и приравнивая нулю выражение в скобках, получим:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Отсюда найдем

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Последнее независимое возможное перемещение рассматриваемой конструкции схематически показано на рис. 51. При этом перемещении глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Рис. 51

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru Здесь уголок АВ поворачивается на бесконечно малый угол глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru вокруг точки А, а балка ВС поворачивается на угол глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru вокруг мгновенного центра скоростей, совпадающего с точкой С. Запишем теперь уравнение принципа Лагранжа для изображенного возможного перемещения:

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Связь между глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru и глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru найдем из условия

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Отсюда

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Подставляя это выражение для глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru в записанное уравнение, вынося глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru за скобки и приравнивая нулю выражение в скобках, получим

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Отсюда найдем момент заделки

глава 2. принцип возможных перемещений - student2.ru

Одно из существенных преимуществ расчета статически определимых конструкций с помощью принципа возможных перемещений по сравнению с методами классической статики состоит в том, что каждое из получающихся уравнений содержит только одну неизвестную реакцию. Это значительно упрощает решение системы уравнений и, кроме того, позволяет, когда это необходимо, любую из искомых реакций независимо от остальных.

Глава 3. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

По своему содержанию этот принцип аналитической механики ничем не отличается от уравнений движения. Однако с его помощью уравнениям движения можно придать вид уравнений классической статики. В результате движение и равновесие материальных объектов можно изучать с помощью уравнений одинаковой структуры. На практике с помощью уравнений равновесия обычно находят реакции опор. Поэтому принцип Даламбера удобно использовать для нахождения опорных реакций в динамических условиях.

Наши рекомендации