Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов

Произвольную кусочно-непрерывную функцию Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru , изображающую сообщение или сигнал, можно разложить в обобщенный ряд Фурье по полной системе ортонормированных функций:

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ,

если энергия функции Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru конечна [9].

Бесконечная система действительных функций Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru называется ортогональной на отрезке [a, b], если

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru при Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ,

а отдельная функция Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru называется нормированной, если

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru .

Система нормированных функций, в которой каждые две различающихся функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой. При аппроксимации функции Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ограничиваются, как правило, конечным числом членов ряда. При заданной системе функций Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru и при Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru фиксированном количестве членов ряда n значения коэффициентов Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru можно выбрать такими, при которых среднеквадратичная ошибка аппроксимации

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru

достигает минимума. Ряд, обеспечивающий минимум среднеквадратической ошибки называется рядом Фурье. Минимум среднеквадратичной ошибки достигается в том случае, когда коэффициенты ряда определяются по формуле

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ,

при этом они вычисляются независимо друг от друга при любом значении n и называются коэффициентами Фурье.

Ряд, с определяемыми таким образом коэффициентами, называется обобщенным рядом Фурье.

Ортогональная система называется полной, если путем увеличения количества членов в ряде среднеквадратичную ошибку можно сделать сколь угодно малой.

Таким образом, по счетному множеству коэффициентов Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru можно с определенной точностью восстановить соответствующую функцию Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru можно заменить передачей последовательности коэффициентов Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru . Указанную последовательность можно интерпретировать как вектор в n - мерном Евклидовом пространстве с координатами Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru , квадрат длины которого

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru .

Последнее равенство является обобщением теоремы Пифагора на случай n-мерного пространства. Путем непосредственных вычислений легко установить, что энергия сигнала

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru .

Таким образом, дискретизацией называется замена непрерывной функции Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru , определенной на интервале, равном Т, последовательностью коэффициентов Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ... (вектором).

Выбор системы ортогональных функций Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru определяется целью и физической сущностью решаемой задачи, а не чисто математическими умозаключениями.

С целью передачи сигнала по каналу связи широко применяется разложение функции Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru в ряд Котельникова, которое позволяет существенно упростить определение коэффициентов Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru .

Согласно теореме Котельникова произвольная функция Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru с ограниченным спектром, может быть тождественно представлена счетным множеством ее значений, взятых через интервал времени Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru где F - верхняя граничная частота спектра сигнала. В этом случае функции

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ,

образующие систему ортогональных функций, отличаются друг от друга только сдвигом по оси времени t на величину кратную Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru , при этом каждая из них достигает своего максимального значения в те моменты времени, когда значения всех остальных функций равны нулю. Коэффициенты разложения определяются по формуле

Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru ,

которую в результате тождественных преобразований можно привести к виду: Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru , то есть коэффициент Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru равен значению функции Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru в момент, когда функция Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru достигает своего максимального значения.

Если дискретизации подлежит нормальный (гауссов) случайный процесс, энергетический спектр которого имеет прямоугольную форму, то коэффициенты Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru будут статистически независимыми случайными величинами, которые совпадают со значениями случайной функции Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru , взятыми с шагом Dt [9].

Таким образом, непрерывные сообщения можно передавать в цифровом виде, то есть в виде последовательности чисел, при этом каждое число приближенно выражает величину соответствующего коэффициента Дискретизация непрерывных сообщений и сигналов - student2.ru .

Наши рекомендации