Понятие функции. Отображение множеств

Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ''множество'' иногда говорят ''совокупность'', ''собрание'' предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств. Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой.

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а Î Х означает, что а есть элемент множества Х.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Подмножество множества А называется несобственным, если оно совпадает с множеством А.

Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В Í А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).

Операции над множествами

Пусть А и В – произвольные множества.

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АÈВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А_i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А_i.

Рис.1 Рис.2

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АÇВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А_i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А_i.

Операции объединения и пересечения множеств по определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

АÈВ = В È А, (А ÈВ) ÈС = А È (В È С),

А Ç В = В Ç А, (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С), (1)

(А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С). (2)

Определение. Разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3).

Непрерывность функции

1.1. Непрерывность функции в точке Определение. Функция у = f(x), определённая на интервале ]a, b[, называется непрерывной в точке х0 Î ]a, b[, если f(х) = f(х0) (то есть предел функции равен её значению при предельном значении аргумента). Так как равенство в определении равносильно следующему (f(х) – f(х0)) = 0, то функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции. Теорема 1.1.1. Если функции f(x) и j(х) непрерывны в точке х , то также непрерывны в этой точке их сумма f(x) + j(х), разность f(x) – j(х), произведение f(x)×j(х), а также частное при условии, что j(х) ¹ 0. Следствие 1. Целая рациональная функция Рn(х) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn непрерывна при всех х. Следствие 2. Дробно рациональная функция R(x) = непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль. Теорема 1.1.2. Если функция j(х) непрерывна в точке х0, а функция f(у) непрерывна в точке у0 = j(х0), то сложная функция F(x) = f(j(х)) непрерывна в точке х0. 1.2 Точки разрыва функции Рассмотрим функцию у = f(x), определённую на интервале ]a, b[, кроме, быть может, точки х0 Î ]a, b[. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке. Если х0 – точка разрыва функции f(x) и существуют конечные пределы f(х0 – 0) = f(х), f(х0 + 0) = f(х), то она называется точкой разрыва первого рода. Величина f(х0 + 0) – f(х0 – 0) называется скачком функции f(x) в точке х0. Пусть функция у = f(x) имеет разрыв в точке х0 и f(х0 + 0) = f(х0 – 0), тогда х0 называется точкой устранимого разрыва. Это название оправдано тем, что если доопределить такую функцию (если она не была определена в точке х0), положив f(х0) = f(х) = f(х), то получится функция, непрерывная в точке х0. Например, для функции f(x) = точка х0 = 0 является точкой устранимого разрыва. Если х0 – точка разрыва и, по крайней мере, один из пределов f(х0 + 0), f(х0 – 0) является бесконечным или не существует, то х0 называется точкой разрыва второго рода. Например, 1) точка х0 = 0 – точка разрыва второго рода для функции f(x) = , поскольку f(х0 – 0) = –¥, f(х0 + 0) = +¥; 2) так как f(х0 + 0) = +¥, то точка х0 = 0 является точкой разрыва второго рода для функции f(x) = 3 (см. рис. 1).   1.3. Непрерывность функции на промежутке Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если функция определена при х = а и при этом f(х) = f(а), то говорят, что f(х) в точке а непрерывна справа. Аналогично, если f(х) = f(b), то говорят, что в точке b эта функция непрерывна слева. Определение. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой его точке (в точке а непрерывна справа, в точке b – непрерывна слева). Наибольшим значением функции у = f(x) на отрезке [a, b] называется такое её значение f(x1), что f(x) £ f(x1) для всех х Î [a, b]. Наименьшим значением функции у = f(x) на отрезке [a, b] называется такое её значение f(x2), что f(x) ³ f(x2) для всех х Î [a, b]. Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами. Теорема 1.3.1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], достигает на нём своего наименьшего значения m и наибольшего значения M, то есть существуют такие точки x1 и x2 этого отрезка, что f(x1) = m, f(x2) = M. Теорема имеет простой геометрический смысл (см. рис.2).     Теорема 1.3.2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает неравные значения f(а) = А, f(b) = В, А ¹ В, то каково бы ни было число С, заключённое между А и В, найдётся точка с Î [a, b] такая, что f(с) = С. Геометрический смысл теоремы иллюстрируется на рис.3. Всякая прямая у = С, где A < C < B (или A > C > B), пересекает график функции у = f(x). Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. Геометрический смысл следствия иллюстрируется на рис.4.   Производная функции. Физический и геометрический смысл производной. Правила дифференцирования Производная функции одно из основополагающих понятий математического анализа. Мы рассмотрим основные понятия и теоремы связанные с производной функции, также обсудим геометрический и физический смысл производной функции, приведем перечень правил, которые нужно соблюдать при вычислении производной функции одной переменной и сложной функции.

1. Определение производной функции.
Необходимое условие существования производной

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.

Теорема1. (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует . Тогда

,

Где – бесконечно малая при .

;

.

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке (по геометрическому определению непрерывности). ∎

Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке . Например, функция y = |x| непрерывна, но не имеет производной в точке .

Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают

.

Операцию нахождения производной функции f(x) называют дифференцированием функции y = f(x).

2. Физический и геометрический смысл производной

Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е , где C – константа.

2) Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е . .

3) Производная произведения дифференцируемых функций находится по правилу: .

4) Константу можно выносить за знак производной : , где - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: .

Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ''множество'' иногда говорят ''совокупность'', ''собрание'' предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств. Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой.

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а Î Х означает, что а есть элемент множества Х.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Подмножество множества А называется несобственным, если оно совпадает с множеством А.

Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В Í А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).

Операции над множествами

Пусть А и В – произвольные множества.

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АÈВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А_i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А_i.

Рис.1 Рис.2

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АÇВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А_i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А_i.

Операции объединения и пересечения множеств по определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

АÈВ = В È А, (А ÈВ) ÈС = А È (В È С),

А Ç В = В Ç А, (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С), (1)

(А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С). (2)

Определение. Разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3).

Понятие функции. Отображение множеств

Пусть X и Y – два произвольных множества.

Определение. Говорят, что на X определена функция f, принимающая значение из Y, если каждому элементу x Î X поставлен в соответствие один и только один элемент y Î Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y – её областью значений.

Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f(а) из Y называется образом а при отображении f. Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b Î Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом) элемента b и обозначается f ^–1(b).

Пусть А – некоторое множество из X; совокупность {f (а): а Î А} всех элементов вида f (а), где а Î А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f ^–1(В), а именно: f ^–1(В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.

Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией. В общем случае, т.е. когда f (X) Ì Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х₁ и х₂ из X их образы y₁ = f (x₁) и y₂ = f (x₂) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f: X®Y, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием междуX и Y.