Передача теплоты через плоскую стенку и граничных условиях I рода.

Лекция № 1.

Тема: «Основные законы теплопроводности»

1.1.1 Вопросы лекции:

1. Способы передачи теплоты.

2. Основные определения

2.1 Температурное поле.

2.2 Температурный градиент.

2.3 Тепловой поток.

3. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности.

4. Дифференциальное уравнение теплопроводности.

5. Краевые условия для процессов теплопроводности.

1.1.2 Краткое содержание вопросов:

Способы передачи теплоты

В соответствие со вторым законом термодинамики самопроизвольный процесс переноса теплоты в пространстве возникает под действием разности температур и направлен в сторону уменьшения температуры. Самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в пространстве с неоднородным распределением температуры называется теплообменом.

Теплообмен в общем случае может осуществляться тремя различными способами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением (радиацией).

Теплопроводность – это процесс распространения теплоты за счет непосредственного соприкосновения тел (частиц тела) друг с другом. Теплопроводность обусловлена движением микрочастиц (атомов, молекул) и возможна в твердых, жидких и газообразных средах.

Конвекция – это перенос теплоты движущимися макроскопическими объемами жидкости или газа. В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела; этот процесс называется конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.

Тепловое излучение (радиация) – это распространение теплоты в пространстве посредством электромагнитных волн. Тепловое излучение может происходить в вакууме, а также в средах, полностью или частично пропускающих излучение.

2. Основные определения

2.1 Температурное поле

Всякое физическое явление в общем случае сопровождается изменением в пространстве и времени существенных для данного явления физических величин. Для процесса передачи теплоты такой существенной физической величиной является температура, которая при осуществлении теплообмена изменяется как в пространстве, так и во времени.

Аналитическое исследование любого процесса теплообмена сводится к изучению пространственно-временного изменения температуры, то есть к нахождению уравнения вида:

,

которое представляет собой математическое описание температурного поля. Температурное поле – это совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

Различают стационарное и нестационарное температурные поля. Представленное уравнение является записью наиболее общего вида температурного поля, когда температура изменяется как от одной точки к другой, так и с течением времени. Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности и называется нестационарное температурное поле.

Если тепловой режим является установившемся, то температура в каждой точке поля с течением времени остается неизменной и такое температурное поле называется стационарным.

В этом случае температура является функцией только координат:

; .

Представленные выражения, характеризуют трехмерные температурные поля, то есть температура изменяется вдоль трех координат. Если температура изменяется вдоль двух координат, то поле называется двухмерным:

; .

Если температура изменяется только вдоль одной координаты, то температурное поле называется одномерным:

; .

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

; ; .

2.2 Температурный градиент

Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, которая называется изотермической. Итак, изотермической поверхностью называется геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Изобразим изотермические линии со значения-

ми температур: t + Dt, t, t – Dt. Очевидно, температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Возьмем на изотермической линии некоторую точку Р. Проведем из точки Р нормаль к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры – это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению, т.е.:

,

где – единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры.

Производная в направлении убывания температуры отрицательна.

2.3 Тепловой поток

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через произвольную поверхность F, называется тепловым потоком и обозначается буквой Q. Единицей измерения теплового потока обычно служит Дж/с, т.е. Вт.

Количество теплоты, передаваемое за произвольный промежуток времени t через произвольную поверхность F, называется полным тепловым потоком и обозначается Q_t.

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока – это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади произвольной поверхности. Эта величина обозначается через q и измеряется в Вт/м²:

.

Лекция № 2

Тема: «Стационарная теплопроводность»

1.2.1 Вопросы лекции:

Условиях I рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tc1 и tc2. Следовательно, температура будет изменяться только в направлении оси Ох, а температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной:

.

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х (t = f(x)) и дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:

.

Граничные условия в рассматриваемой задаче задаются следующим образом:

t = t_c1 при х = 0;

t = t_c2 при х = d.

В результате решения поставленной задачи найдем распределение температуры в плоской стенке, то есть t = f(x), а также получим формулу для определения плотности теплового потока.

Первое интегрирование дает:

.

После второго интегрирования получим:

– уравнение прямой линии.

Следовательно, при l = const закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

при х = 0 t = t_c1 Þ С₂ = t_c1;

при х = d t = t_c2 .

Тогда закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке имеет следующую запись:

.

Для определения плотности теплового потока в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье, согласно которому:

.

Так как , то

.

Из полученного уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности l, разности температур поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки d.

Величина, численно равная отношению разности температур между двумя изотермическими поверхностями тела к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей, называется внутренним термическим сопротивлением, м²×К/Вт:

.

Общее количество теплоты Q_t, которое передается через поверхность стенки F за промежуток времени t:

.

Кроме того, уравнение температурного поля может быть записано в виде:

.

Из этого выражения следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Полученные выражения справедливы, когда l = const.

В действительности l является переменной величиной. Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

,

где l₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0 °С.

Тогда плотность теплового потока будет равна:

.

Введя обозначение , получим

,

где l_ср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности.

Выражение для температурного поля имеет вид:

.

Граничных условиях I рода

Рассмотрим стенку, состоящую из слоев различной толщины (d₁, d₂,…, d_n). Теплопроводность отдельных слоев обозначим l₁, l₂,…, l_n. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.

При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же: .

При заданных условиях можно составить систему уравнений:

, , …………………. ;

, , …………………. .

Сложив правые и левые части полученных уравнений, будем иметь:

.

Тогда плотность теплового потока равна:

,

где – полное термическое сопротивление плоской многослойной стенки, м²×К/Вт. Полное термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений составляющих ее слоев.

Иногда многослойную стенку рассчитывают как однородную, вводя в представленное выражение эквивалентный коэффициент теплопроводности:

.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки той же толщины, с теми же температурами поверхности и пропускающей тот же тепловой поток.

Температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев равны:

;

;

.

Лекция № 1.

Тема: «Основные законы теплопроводности»

1.1.1 Вопросы лекции:

1. Способы передачи теплоты.

2. Основные определения

2.1 Температурное поле.

2.2 Температурный градиент.

2.3 Тепловой поток.

3. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности.

4. Дифференциальное уравнение теплопроводности.

5. Краевые условия для процессов теплопроводности.

1.1.2 Краткое содержание вопросов:

Способы передачи теплоты

В соответствие со вторым законом термодинамики самопроизвольный процесс переноса теплоты в пространстве возникает под действием разности температур и направлен в сторону уменьшения температуры. Самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в пространстве с неоднородным распределением температуры называется теплообменом.

Теплообмен в общем случае может осуществляться тремя различными способами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением (радиацией).

Теплопроводность – это процесс распространения теплоты за счет непосредственного соприкосновения тел (частиц тела) друг с другом. Теплопроводность обусловлена движением микрочастиц (атомов, молекул) и возможна в твердых, жидких и газообразных средах.

Конвекция – это перенос теплоты движущимися макроскопическими объемами жидкости или газа. В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела; этот процесс называется конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.

Тепловое излучение (радиация) – это распространение теплоты в пространстве посредством электромагнитных волн. Тепловое излучение может происходить в вакууме, а также в средах, полностью или частично пропускающих излучение.

2. Основные определения

2.1 Температурное поле

Всякое физическое явление в общем случае сопровождается изменением в пространстве и времени существенных для данного явления физических величин. Для процесса передачи теплоты такой существенной физической величиной является температура, которая при осуществлении теплообмена изменяется как в пространстве, так и во времени.

Аналитическое исследование любого процесса теплообмена сводится к изучению пространственно-временного изменения температуры, то есть к нахождению уравнения вида:

,

которое представляет собой математическое описание температурного поля. Температурное поле – это совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

Различают стационарное и нестационарное температурные поля. Представленное уравнение является записью наиболее общего вида температурного поля, когда температура изменяется как от одной точки к другой, так и с течением времени. Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности и называется нестационарное температурное поле.

Если тепловой режим является установившемся, то температура в каждой точке поля с течением времени остается неизменной и такое температурное поле называется стационарным.

В этом случае температура является функцией только координат:

; .

Представленные выражения, характеризуют трехмерные температурные поля, то есть температура изменяется вдоль трех координат. Если температура изменяется вдоль двух координат, то поле называется двухмерным:

; .

Если температура изменяется только вдоль одной координаты, то температурное поле называется одномерным:

; .

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

; ; .

2.2 Температурный градиент

Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, которая называется изотермической. Итак, изотермической поверхностью называется геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Изобразим изотермические линии со значения-

ми температур: t + Dt, t, t – Dt. Очевидно, температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Возьмем на изотермической линии некоторую точку Р. Проведем из точки Р нормаль к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры – это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению, т.е.:

,

где – единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры.

Производная в направлении убывания температуры отрицательна.

2.3 Тепловой поток

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через произвольную поверхность F, называется тепловым потоком и обозначается буквой Q. Единицей измерения теплового потока обычно служит Дж/с, т.е. Вт.

Количество теплоты, передаваемое за произвольный промежуток времени t через произвольную поверхность F, называется полным тепловым потоком и обозначается Q_t.

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока – это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади произвольной поверхности. Эта величина обозначается через q и измеряется в Вт/м²:

.

Лекция № 2

Тема: «Стационарная теплопроводность»

1.2.1 Вопросы лекции:

Передача теплоты через плоскую стенку и граничных условиях I рода.