Лекция 5. Функции нескольких переменных

Будем говорить, что переменная z есть функция аргументов x и y, если каждой паре значений x и y соответствует определенное значение z.

Тот факт, что z есть функция переменных x и y, записывают одной из формул:

, , .

Аналогично определяются и обозначаются функции трех и большего числа переменных:

, и т.д.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, выражается формулой

.

Здесь есть функция двух переменных.

Пример 2. Температура Q нагретого тела может в данный момент t изменяться от точки к точке. Поэтому

,

т.е. Q есть функция трех аргументов (координат точки) x, y и z.

Пример 3. Если в предыдущем примере еще учитывать зависимость Q от времени t, то Q будет функцией четырех аргументов

.

Чтобы задать функцию , надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество пар значений, которые могут принимать аргументы x и y. Это множество называется областью определения функции. В случае явного аналитического задания это множество определяется самой формулой, задающей функцию. Например, функция

задана для всех возможных x и y. Пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. В связи с этим мы можем сказать, что рассматриваемая функция задана на всей плоскости.

Функция

задана лишь при , т.е. в круге радиуса R с центром в начале координат, ограниченном окружностью (включая эту окружность).

Функция

задана при , т.е. в кольце, ограниченном окружностями радиусов , , центр которого совпадает с началом координат (при этом точки, принадлежащие окружности принадлежат области определения, а точки окружности – не принадлежат).

Сформулируем понятие окрестности точки на плоскости.

Определение. Будем называть e-окрестностью точки открытый круг радиуса e с центром в точке , т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям

.

Прямоугольной окрестностьюточки называется открытый прямоугольник с центром точке (т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям , ).

В дальнейшем, говоря «окрестность», мы будем иметь в виду окрестность одного из упомянутых видов – круговую или прямоугольную.

Функция двух переменных допускает графическую иллюстрацию. Обычно график функции есть поверхность в трехмерном пространстве (при этом область определения функции есть проекция этой поверхности на плоскость xOy).

Функции трех и большего числа переменных невозможно представить геометрически (в обычном трехмерном пространстве).

Заметим, что все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных и мы будем в основном изучать именно их.

Непрерывность

Понятие непрерывности функции нескольких переменных определяется так же, как и для функции одной переменной.

Пусть , пусть – некоторая точка. Придадим аргументам x и y приращения Dx, Dy (т.е. перейдем от к ). Тогда функция получит приращение Dz. Если

, (1)

то говорят, что функция непрерывна в точке . Иначе говоря, функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции*.

Если учесть, что

,

и положить , , то равенство (1) можно переписать в виде

. (2)

Равенство (2) дает нам еще одно определение непрерывности: функция непрерывна, если ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

Частные производные

Пусть . Зафиксируем точку и, не меняя значения придадим аргументу x приращение Dx, т.е. перейдем от к . Если существует предел

,

то этот предел называется частной производной функции в точке и обозначается одним из символов

, , , .

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частная производная функции двух аргументов по одному из аргументов – это обычная производная той функции одного аргумента, которая получается из данной функции при фиксированном другом аргументе. (Поэтому, вычисляя, например, , мы обращаемся с аргументом y как с константой.)

Примеры. 1) .

, ;

2) .

, .