Решение задач 1-3 контрольной работы № 1

Задача 1. Решить задачу, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна.

Группа туристов из 100 человек пробыла в городе N три дня. За это время драматический театр посетили 28 туристов, оперный – 42, кукольный – 30. И в драматическом, и в оперном побывало 10 человек; в драматическом и кукольном – 8; в оперном и кукольном – 5. Все три театра посетили три человека. Сколько туристов не были ни в одном театре?

Решение. В задаче идет речь о трех множествах Д, О, К – зрителей драмы, оперы и кукольного спектакля соответственно. Универсальное множество U – это множество туристов группы. Используя обозначение Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru – количество элементов множества Х, запишем кратко условие задачи:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru U Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

В задаче требуется найти Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

 
  Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Перенесем эти данные на диаграмму Эйлера-Венна. Разметку диаграммы начинаем с множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru – здесь три элемента. В множестве Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru - 10 элементов, но три из них уже учтены. Оставшиеся 7 элементов проставляем на диаграмме и т.д.

Теперь на диаграмме (рис. 1.6) все элементы учтены ровно по одному разу, следовательно, количество туристов, которые побывали хотя бы в одном театре, равно

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Количество туристов, не побывавших ни в одном театре

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru U Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Ответ: не были ни в одном театре 20 человек.

Задача 2. Задано универсальное множество U Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru и множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru . Перечислить элементы множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru . Записать булеан множества Х, какое-либо разбиение множества Y, покрытие множества Z.

Решение. Для нахождения множества W выполним операции над множествами в следующем порядке:

1) Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru - по определению операции дополнения;

2) Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru - по определению операции пере-сечения множеств;

3) Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

Итак, Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Для построения булеана множества X воспользуемся двоичной записью числа. Если множество X содержит n элементов, его булеан содержит Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru подмножеств – в нашем случае 8 подмножеств. Будем записывать номер подмножества трехразрядным двоичным числом от 0 до 7, включая в подмножество только те элементы, которым соответствует единица в двоичном разряде (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Булеан множества X

Номер подмножества Двоичная запись номера Подмножества множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru
{} = Æ
{ 7}
{ 4 }
{ 4,7}
{2 }
{2, 7}
{2,4 }
{2,4,7}

Итак, в булеан множества Х включаем пустое множество, само множество Х, все одноэлементные подмножества, все двухэлементные подмножества множества Х:

B Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru Æ, Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

Для множества Y построим разбиение, состоящее из трех блоков R Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru , например, таким образом:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Определение разбиения выполняется: множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru не пусты, не пересекаются ( Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru Æ, Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru Æ, Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru Æ), их объединение равно множеству Y:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Для построения покрытия выберем подмножества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru и Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru . Полученная система множеств P Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru состоит из двух блоков, объединение которых равно множеству Z:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

Задача 3. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры множеств:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

Решение. Договоримся считать, что операция пересечения множеств имеет более высокий приоритет, чем объединение множеств, т.е., если нет скобок, изменяющих приоритет, вначале выполняется пересечение, а затем объединение. Пользуясь этим правилом и законом ассоциативности, определим порядок действий:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

Выполним преобразования, указывая номер закона (табл. 1.1) над знаком равенства:

1) Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ;

2) Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ;

3) Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru

Ответ: Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

Задача 4 контрольной работы 1 выполняется аналогично доказательству закона дистрибутивности (1.1) в подразделе 1.1.7.

1.1.9. Контрольные вопросы и упражнения

1. Вставьте обозначения числовых множеств:

____ - множество натуральных чисел;

____ - множество целых чисел;

____ - множество рациональных чисел;

____ - множество действительных чисел.

2. Вставьте пропущенный знак Î или Ï :

117 ____ N; 22,4 ____ Z; 4/3 ____ Q;

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ____ Q; Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ____R; p ____ Z.

3. Принадлежит ли множеству корней уравнения Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru число Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ?

4. Какими способами можно задать множество?

5. Запишите множество действительных корней уравнения Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru . Как записать ответ, если требуется найти множество целых корней этого уравнения?

6. Что такое подмножество данного множества? Какой символ используется для записи “множество А является подмножеством множества В”? Запишите его: А ____ В.

7. Вставьте пропущенный символ Î или Í:

1 ____ {1,2,3}; {1}____ {1,2,3};

Æ ____ {1,2,3}; {2,3}____ {1,2,3}.

8. Обведите кружком номер правильного ответа:

Множество всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В, называется:

1) объединением множеств А и В;

2) пересечением множеств А и В;

3) разностью множеств А и В.

9. Вставьте пропущенные знаки операций над множествами:

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ___ Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ;

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ___ Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ;

Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ___ Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru .

10. Что такое булеан множества Х?

11. Является ли булеаном множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru система подмножеств Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ?

12. Является ли разбиением множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru система подмножеств Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru ? Является ли она покрытием данного множества?

13. Нарисуйте диаграмму Эйлера – Венна для множества Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru . Нарисуйте диаграмму для Решение задач 1-3 контрольной работы № 1 - student2.ru . Сравните заштрихованную часть на обеих диаграммах. Как называется закон, который Вы проиллюстрировали?

14. Нарисуйте диаграммы Эйлера – Венна для левой и правой частей закона де Моргана. Сравните их.

15. Запишите законы алгебры множеств. Запомните их названия.

Бинарные отношения

Наши рекомендации