Доказательство основной теоремы принципа максимума

Рассмотрим задачу Лагранжа, полагая, что система и функционал не зависят явно от времени, а на вектор ограничения не накладываются:

, , , , (3.4)

. (3.5)

Введем в рассмотрение расширенный вектор , где компонент является решением уравнения

, .

Таким образом, размерность вектора равна . Тогда задача принимает частный вид задачи Майера:

, , , , (3.6)

, (3.7)

где , .

Пусть - искомое оптимальное управление, а - соответствующая ему траектория (рис. 3.3):

, , , .

В дальнейшем будем полагать, что относится к классу кусочно-непрерывных функций, т.е. может иметь конечное число точек разрыва первого рода. Дадим игольчатую вариацию управлению на бесконечно малом интервале . В результате варьирования дальнейшее движение при будет отличаться от оптимального (рис. 3.3). Обозначим через вариацию траектории .

С точностью до малых высшего порядка для момента будем иметь

. (3.8)

Так как - бесконечно малая величина, то возмущенная траектория будет бесконечно мало отличаться от оптимальной. Поэтому для определения вариации при можно воспользоваться уравнением в вариациях

, .

Рис. 3.3. Траектории движения системы

Интегрируя, можно получить вариацию траектории для любого , в том числе и для , т.е. . Но вариация характеризует изменение функционала за счет игольчатой вариации управления. Так как обеспечивает минимум , то или

, (3.9)

где - вектор размерности вектора , подобранный так, чтобы скалярное произведение и равнялось . Для этого достаточно положить

, . (3.10)

Поставим задачу найти вектор , который удовлетворял бы для любого условию:

. (3.11)

Продифференцируем по времени:

.

Учитывая уравнение в вариациях, получим

.

Так как это равенство должно выполняться для любого , то получим следующее дифференциальное уравнение для вектора :

.

Это уравнение может быть решено лишь совместно с исходной системой, т.к. в него входят и .

Перепишем соотношение (3.11) для с учетом (3.10)

.

Раскрывая его с помощью (3.8), получим

. (3.12)

Введем в рассмотрение функцию - гамильтониан

.

Тогда (3.12) можно представить в виде

.

Т.к. может быть любым из , то окончательно

(3.13)

для любого .

Если учесть, что

, ,

то уравнения, определяющие и на оптимальной траектории при могут быть представлены в виде

, . (3.14)

Эта система является канонической. Заметим, что она с точностью до обозначений совпадает с канонической формой уравнения Эйлера. Граничными условиями для нее являются условия трансверсальности:

, , . (3.15)

Принцип максимума Понтрягина формулируется следующим образом. Необходимое условие оптимальности для задачи (3.6) заключается в существовании такого вектора , который совместно с являлся бы решением канонической системы (3.14) с граничными условиями (3.15), а гамильтониан в каждый момент времени достигал бы своего максимального значения по , т.е. выполнялось бы условие (3.13).

Свойства гамильтониана

На оптимальной траектории гамильтониан обладает следующими свойствами.

1. Гамильтониан - непрерывная функция времени для всех .

Это свойство очевидно для любого , не совпадающего с точками разрыва управления . Пусть - одна из точек разрыва. Рассмотрим значения слева и справа от точки . В силу непрерывности по времени и можно записать

.

,

.

.

Предположим, что . Возможны два случая: и или

.

,

.

.

И то и другое противоречит основной теореме принципа максимума, согласно которой гамильтониан всегда принимает максимальное значение. Следовательно, , то есть функция непрерывна.

2. Гамильтониан постоянен на оптимальной траектории, т.е. для всех .

Рассмотрим некоторый отрезок , на котором функция непрерывна. Для любых в силу основной теоремы принципа максимума

и поэтому

.

Если , то

.

При получаем неравенство

.

Правая часть равна нулю, что следует из канонической системы уравнений. Следовательно,

. (3.16)

Если , то аналогично можно получить, что

. (3.17)

Из (3.16) и (3.17) следует, что , т.е. для всех . В силу непрерывности по времени для всех .

3. Если свободно, то для всех .

Проварьируем управление в конечный момент времени , изменив величину на бесконечно малую величину и сохранив при этом величину . В отличие от игольчатой такая вариация называется временной вариацией управления. Видно, что вариация траектории с точностью до малых высшего порядка будет равна

.

Умножив на с учетом (3.9), получим

.

Т.к. может быть положительным и отрицательным, то

.

Гамильтониан на всей оптимальной траектории постоянен, поэтому

для всех .