Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны.

Рассмотрим задачу о колебаниях ограниченной струны длины l с нулевыми граничными условиями первого рода и произвольными начальными условиями в отсутствии внешней силы. Такие колебания струны называются свободными. Решение этой задачи сводится к решению волнового уравнения

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (30)

при граничных условиях Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (31)

и начальных условиях Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (32)

при этом искомое решение должно быть нетривиальным и ограниченным.

В этом случае можно было бы решать задачу по формуле Даламбера

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

Однако определение функций Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru и Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru по формулам, которые мы получили из начальных условий

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru ,

встречает здесь те же затруднения, что и в случае полубесконечной струны, поскольку функции f(x) и g(x) определены только для x >0 и решение может быть определено тоже только при x >0.

В связи с этим приходится искать продолжение функций f(x) и g(x) вне промежутка (0, l), используя для этого граничные условия. Этот путь приводит, как мы помним, к построению отраженных волн и формированию решения в виде суперпозиции прямой и обратной волны. Поскольку струна закреплена с обоих концов, то прямая и обратная волны будут пересекаться многократно, что мешает наглядно представить этот процесс.

Ситуация упростилась бы, если бы можно было посмотреть как формируется решение отдельно по координате и по времени. Этот подход можно реализовать с помощью методом разделения переменных, который является одним из наиболее распространенных методов математической физики, в чем мы ещё не раз убедимся. В соответствии с этим методом решение уравнения в частных производных ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. В частности для уравнения (30) решение ищется в виде

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (33)

Подставив это выражение в уравнение (30), получим

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

Разделим обе части на Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , тогда уравнение примет вид

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

В этом уравнении левая часть есть функция только переменной t, а правая – только переменной x. Это может иметь место, только если и левая и правая часть является постоянной величиной, которую мы обозначим λ:

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (34)

где λ, может быть любым действительным числом и знак минус с этой точки зрения ничего не меняет, но для дальнейшего такое обозначения константы разделения оказывается более удобным. Заметим, что значение λ еще предстоит найти и только в том случае если оно существует наше представление (33) оправданно. В связи с этим существование значения (или значений) числа λ называют условием разделения переменных.

Соотношение (33) позволяет нам записать два уравнения:

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (35)

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (36)

Чтобы функция (33), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла нулевым граничным условиям (31), приходится потребовать, чтобы выполнялись условия

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru и Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (37)

Таким образом, мы приходим к необходимости решить две задачи. Первая из них состоит в том, что требуется найти нетривиальное и ограниченное при всех x решение уравнения (35), удовлетворяющее граничным условиям (37), а также те значения λ, при которых это решение существует. Эта двоякая задача носит название задачи Штурма-Лиувилля. Найденные в результате решения задачи значения λ называются собственными числами, а соответствующие им решения X (x) – собственными функциями.

Уравнение (35), как известно, имеет три вида решения в зависимости от того, какие корни имеет соответствующее характеристическое уравнение

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

В результате при λ = 0 учет нулевых граничных условий приводит к тривиальному решению, что противоречит условию задачи. При λ < 0 решение имеет вид

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

Подстановка первого граничного условия приводит к равенству Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , а подстановка второго граничного условия приводит к равенству Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , чего не может быть, если Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru . Остается только случай λ > 0, тогда решение будет иметь вид

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru ,

В котором в силу первого граничного условия С1 = 0, а второе граничное условие приводит к соотношению

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru ,

откуда получаем Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , где n= 1, 2, 3, . . ., Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru .

В результате получаем бесконечный набор собственных чисел, каждому из которых соответствует собственная функция

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , (38)

где Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru – произвольные постоянные. Эта функция представляет собой с точностью до множителя синус кратного аргумента

Теперь можно обратиться к решению уравнения (36). Поскольку мы имеем бесконечный набор значений λ, то вместо уравнения (36) нам предстоит решать бесконечный набор уравнений одного вида

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , где Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (39)

При этих значения λ уравнение (36) будет иметь решение

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , (40)

где An и Bn – произвольные постоянные, свои для каждого n.

В результате, перебирая значения n. мы получим бесконечный набор решений уравнения (33) следующего вида:

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (41)

При записи выражения (41) было учтено, что произведение произвольной константы C2n на произвольные константы An и Bn будет также давать произвольные константы, которые можно снова обозначить через An и Bn.

Сумма решений (41) и будет общим решением уравнения (33)

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (42)

Каждая из функций un (x) представляет собой так называемую стоячую волну. Действительно, как мы уже отмечали, множитель sin(nπx/l) представляет собой периодическую функцию по координате x с полупериодом, равным 1/n от длины струны, а множитель в квадратных скобках представляет собой периодическую по времени функцию

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , (43)

где Dn2= An2+Bn2 и γn=arctg (An /Bn), с периодом, пропорциональным 1/n. Амплитуда колебания каждой точки с координатой x определяется по формуле

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , (44)

а частота по формуле

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (45)

Стоячую волну с номером n называют n-ой гармоникой или n-ой модой колебаний.

На рис.18 приведены примеры графического изображения стоячих волн для n=1,2,3. Константы An и Bn, а значит и константа Dn, представляющая собой амплитуду колебаний, остается пока неизвестной.

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

Рис. 18. Стоячие волны: а) n=1; б) n=2; в) n=3.

Теперь перейдем к определению констант An и Bn . Для этого воспользуемся начальными условиями (32), подставив полученное решение (42) с учетом (43). В результате получим

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (46)

Умножим обе части на Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru , проинтегрируем от нуля до l и воспользуемся соотношением ортогональности

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru ,

после чего получим Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru

Окончательные выражения для коэффициентов An и Bn будут иметь вид

Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны. - student2.ru (47)

Таким образом, решение задачи о малых поперечных свободных колебаниях ограниченной струны, защемленных на обоих концах, имеет вид суперпозиции бесконечного набора стоячих волн, которые определяются по формуле (41) с учетом формул (47).

Наши рекомендации