Краткие сведения из теории стрельбы

Теория стрельбы — это дисциплина, которая на основе исследования явлений, сопровождающих стрельбу, и оценки ее эффективности вырабатывает рациональные методы подготовки и ведения огня, а также предлагает исходные данные разработки требований к ствольным комплексам. Классическая теория стрельбы рассматривает процесс стрельбы огневого противодействия противника, полагая, кроме того, что орудие является абсолютно надежным. В этом ее отличие от исследования операций, где анализируются результаты стрельбы с учетом огневого противодействия противника, надежности комплекса, а изучение процессов функционирования арткомплекса не ограничивается изучением процесса стрельбы, но предполагает рассмотрение и других процессов (перемещения, управления, разведки и т.н.).

В зависимости от вида цели применяют тот или иной показатель эффективности Э, характеризующий результат стрельбы. Так, если цель одиночная (малоразмерная), то в качестве показателя применяется вероятность поражения цели Э = Р (A), где А — поражение цели. Если цель групповая (группа одиночных), используют показатель Э=МО Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru —математическое ожидание числа пораженных единиц Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru . Если цель площадная (рассредоточена по площади), то в качестве показателя применяется Э = МО (S„/Sц), где Sп — пораженная площадь, Sц— площадь цели.

Показатели эффективности стрельбы определяются законами рассеивания снарядов и законами поражения. Явление рассеивания состоит в том, что траектория каждого снаряда в одних и тех же условиях стрельбы отличается одна от другой. Причины рассеивания изложены в подразд. 3.1 при рассмотрении боевого свойства арторудия — точности стрельбы. Дополнительно нужно иметь в виду, что рассеивание зависит также от типа снарядов (ударных, дистанционных), от способа стрельбы (одиночная, залповая, очередями), от выстрелов независимых и зависимых (зависимость характеризуется корреляцией координат точек попадания снарядов). При одиночной стрельбе выстрелы независимы. Рассеивание при одиночной стрельбе описывается законом распределения

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

где x, z—координаты точек попадания снарядов; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — математические ожидания; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — средние квадратические отклонения случайных величин х и z.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru —математические ожидания и средние квадратические отклонения технического рассеивания;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --математические ожидания и средние квадратические отклонения прицельного рассеивания.

Схема определения вероятности попадания в цель Р при-ведена на рис. 3.9: площадь цели разбита на элементарные прямоугольники: Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — координаты вершин этих пря-моугольников.



ц [г—тг 2

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru —табулированная функция Лапласа. | Рассеивание при стрельбе залпами характеризуется двумя видами ошибок: ошибками первой группы - случайными (неповторяющимися) для любого снаряда в залпе и ошибками второй группы – постоянными Рис. 3.9 Представле-

(повторяющимися) для каждого ние площадной цели

снаряда в залпе, но случайными от одного залпа к другому.

Если в залпе доля повторяющихся ошибок велик, то выстрелы в залпе будут сильно зависимы.

Координаты точек попадания для i-го выстрела Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru - составляющие координат, определяемые ошибками

первой группы, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru -- ошибками второй группы.

Математические ожидания координат в рассматриваемом случае будут Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , а их средние квадратические отклонения

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Зависимость между выстрелами i и j при стрельбе залпами принято характеризовать коэффициентом корреляции раздельно по координатам х и z, т. е.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

Где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru —корреляционные характеристики, учиты­вающие взаимное влияние между выстрелами.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Корреляционная матрица для n выстрелов

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Корреляционная матрица нормированная

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Чем больше значимость ошибок второй группы, тем боль­ше значение коэффициента корреляции.

Рассеивание при стрельбе очередями вызвано разбросом траектории каждого отдельного выстрела (или ошибками каждого отдельного выстрела в очереди), а также ошибками, возникающими из-за влияния предыдущих выстрелов па по­следующие.

Числовые характеристики рассеивания при стрельбе оче­редями можно получить только на основании специальных стрельб. Характерным для картины рассеивания на плоскости при стрельбе очередями является то, что можно выделить рассеивание первых, вторых, третьих, и т.д. выстрелов.

обработкой результатов стрельб получают нормированные корреляционные матрицы отдельно по координатам x и z, т.е.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru = Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При решении большинства практических задач значения коэффициентов корреляции Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru мало отличаются друг от друга, поэтому значение коэффициента Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru можно определить по

формуле Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , где rx, rz, в свою очередь, могут быть определены как осредненные значения:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Законы поражения целей обычно рассматриваются применительно к двум типам снарядов: ударного и дистанционного. Ударные снаряды поражают цель, при непосредственном в нее попадании, а дистанционные могут поражать цели и при разрыве снаряда на некотором расстоянии. Для оценки эффективности поражения цели недостаточно располагать только характеристиками рассеивания снарядом, необ­ходимо также знать и характеристики уязвимости цели. При стрельбе ударными снарядами уязвимость цели определяется функцией Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru (закон поражения цели), являющейся условной вероятностью поражения цели при условии попада­ния в нее Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru снарядов. При стрельбе снарядами дистанционного действия уязвимость цели зависит от координат x и z точки разрыва снаряда.

В общем виде координатный закон поражения есть функция координат точек разрыва снарядов, взятых относительно

цели:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При независимости выстрелов и отсутствии накопления

ущерба Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При независимости выстрелов и отсутствия накопления ущерба

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Тогда Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --непоражение цели при разрыве снаряда в точке с координатами Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Для вычисления функции Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru для снарядов осколочного действия используют данные опытов — подрывов снарядов в специальной мишенной обстановке и в бронекамере. В результате серии подобных опытов в зависимости от углов разлета определяют весовые данные осколков, их ко­личество н начальные скорости.

Снаряды ударного действия поражают цель при непосред­ственном попадании. Поэтому для такого типа снарядов закон поражения рассматривают в зависимости не от координат точек попадания, а от числа попавших снарядов в цель Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru . Очевидно: Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru . Число попаданий, при котором цель поражается, является случай­ной величиной Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru . Числовой характеристикой закона пораже­ния является среднее необходимое число попаданий

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

При допущении отсутствия накопления ущерба

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — вероятность попадания в уязвимый отсек. Вероятность поражения цели определяется:

— для ударных снарядов

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где f(x, z) —закон рассеивания снарядов; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где f(x,z)-- закон поражения цели;

— для дистанционных снарядов

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Рассмотрим вероятность поражения цели при нескольких случаях стрельбы:

а) одним ударным снарядом:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --уязвимая площадь цели. Тогда

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ;

б) очередью при n независимых выстрелах:

гипотезы: вероятности выполнения

гипотез:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в цель не попало ни одного снаряда, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в цель попал один снаряд, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в цель попало Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru снаряда, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Соответствующие вероятности поражения цели

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Тогда но формуле полной вероятности (формуле Колмогорова)

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Формулу Колмогорова можно представить в другом виде:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где p — вероятность попадания в цель при одном выстреле;

p=1-p -- вероятность непопадания в цель при одном выстреле;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru число сочетаний из n по m.

В каждом случае, если для поражения цели достаточно одного попадания, т. е. Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

в) очередью при зависимых выстрелах:

пусть событие Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — попадание снаряда в цель при i-м выстреле

тогда

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Используя выражение, характеризующее зависимость между выстрелами,

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

для независимых выстрелов р= 1, так как в этом случае

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru можно выражение для Э записать виде

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Существуют также различные приближенные зависимости для определения вероятности поражения цели. Так, при стрельбе одним дистанционным снарядом

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru определяется соотношением

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Тогда

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Здесь Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --эллипсоид равной плоскости, уравнение которого

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

После преобразований тройной интеграл приводится к виду

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

В рамках традиционной теории стрельбы рассчитывается и расход выстрелов на поражение нелеп. Результатами этих расчетов пользуются для приближенной оценки ожидаемых затрат на поражение цели при решении задач проектирова­ния операционными методами.

Так, например, расход снарядов на поражение танка мо­жет быть вычислен с помощью формулы

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ,

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — средняя вероятность поражения цели; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ; р — вероятность поражения танка при одном выстреле; г — коэффициент корреляции выстрелов;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru табулированная функция Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — приведенные размеры цели; , Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — вертикальные и горизонтальные размеры цели (для танка 3,6 и 2,8); Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --коэффициент фигурности цели, т.е. отно­шение площади цели к площади описанного прямоугольника со сторонами Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru (для танка — 0,85); Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru —средин­ные ошибки выстрела.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --характеристики рассеивания снарядов; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

характеристики систематических ошибок выстрелов;

3.4. Внешняя модель функционирования артиллерийского комплекса.

Для построения внешних моделей функционирования артиллерийских систем, кроме результатов теории стрельбы, используются математические методы описания процессов, характеризующих динамику боевых действий. Поток выстрелов. При исследовании динамики боевых действий последовательность выстрелов, осуществляемых каждой единицей, участвующей в бою, удобно представлять как поток случайных событий.

Математическое описание потока выстрелов определяет математический аппарат для описания процессов боевых действий. При этом наиболее эффективным оказывается применение теории марковских процессов.

Краткие сведения из прикладной теории марковских случайных
процессов с непрерывным временем и дискретными
состояниями. Любой случайный процесс может быть представлены как марковский. Представление процесса функционирования всех средств системы в виде марковского процесса с конечным числом состояний и непрерывным временем дает возможность привлекать для исследования эффективности систем хорошо разработанный аппарат обыкновенных диффе­ренциальных уравнений.

Рассмотрим процесс (систему) Y(t), который в любой мо­мент времени может находиться в одном из своих состояний: Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Это дискретный случайный процесс, причем, если Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru то это процесс конечный (счетный).

Пусть событие заключается в том, что Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru а вероятность этого событии Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Тогда в любой момент времени t выполняется условие нормирования Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — первое свойство марковского процесса.

Одна из основных задач исследования состоит обычно в отыскании вероятностей Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru В качестве допущения обычно считается, что переход из состояния в состояние происходит скачком (мгновенно). Тогда рассматриваемый процесс может быть представлен как блуждание некоторой точки по своим возможным состояниям.

Характеристикой процесса является также Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — условная вероятность того, что в момент Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru система будет в состоянии Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , если в момент Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru она была в состоянии Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Дискретный случайный процесс называется марковским, если вероятность Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru зависит только от указанных в обозначении вероятности параметров: в каком состоянии Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru была система в момент времени Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и в какое состояние Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru система должна попасть в момент Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и не зависит от того, в каких состояниях процесс находился до момента Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Второе свойство марковского процесса:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Марковским случайным процессом с непрерывным време­нем называется процесс, у которого переход из одного состоя­ния Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в другое, соседнее состояние Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , возможен в любой мо­мент времени t. Марковские процессы с непрерывным временем тесно связаны с Пуассоновскими потоками. Можно до­казать утверждение: если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе, будет марковским с непрерывным временем (пуассоновский процесс:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru где—интенсивность потока.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из двух состояний Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , которая может переходить только из Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru под воздействием пуассоновского потока событий с интенсивностью Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Граф такой системы представлен на рис. 3.10. Для рассматриваемого случая имеет место дифференциальное уравнение для вероятности нахождения системы в состоянии Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru (или вероятности невыхода из системы Y0):

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --вероятность невыхода

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru из состояния Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru за время Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru
Переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для P(t):

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

В случае пуассоновских потоков событий, переводящих систему из состояния Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в состояние Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , исчерпывающей характеристикой марковского случайного процесса, имеющего (n+1) состояний Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , является квадратная матрица интенсивностей пуассоновских потоков Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru при Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Решение этой системы дифференциальных уравнений — решение задачи Коши, которое в данных условиях существует. Решение такой системы уравнений легко реализуется на ЭВМ.

Рассмотрим частный случай: простейший марковский процесс, у которого матрица интенсивностей простейшая, т.е. все элементы матрицы--постоянные величины ( Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ). Это означает, что все потоки, переводящие систему из состояния в состояние —простейшие (т.е. обладают свойством однородности и ординарности).

При исследовании таких систем дифференциальных уравнений применяется операторный метод решения дифференциальных уравнений для отыскания вероятностей состояний Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .Используется преобразование по Карсону—Хэвисайду, изображение которого имеет вид

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

В этом случае система дифференциальных уравнений пре­вратится в систему алгебраических уравнений для изображе­ний Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Определив неизвестные Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru по формулам обращения находятся искомые

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При стационарном режиме, когда Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru вёроятности отыскиваются из системы линейных однородных алгебраических уравнений:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

откуда

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Характеристики случайных процессов гибели и размножения Это дискретные марковские случайные процессы, множество состоянии которого ( Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ) ставится в однозначное соответствие с рядом целых неотрицательных чисел Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и для любого состояния этого процесса (кроме граничных Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ) соседними могут быть только те, индексы которых отличаются на величину ±1 (рис. 3.11). На рисунке:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Рис. 3.11. Граф состояний процесса гибели и размножения

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --скачкообразная случайная функция, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru интенсивности перехода (соответственно размножения и гибели).

Существуют: процесс чистого размножения Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru и процесс чистого гибели Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Определим Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru математическое ожидание и дисперсию числа единиц вооружения в строю в момент t.

Пусть Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --процесс накопления техники одного вида,

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru интенсивность производства вооружения, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru интенсивность выхода из строя одной единицы техники, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — число единиц вооружения в строю в момент t.

Система дифференциальных уравнений для вероятностей

состояний:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Умножим второе уравнение на k и просуммируем по всем k:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Если уравнение умножить на k2 и просуммировать, то получим

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Можно убедиться, что

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Полученные выражения говорят о пуассоновском законе распределения (для распределения Пуассона Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru .

Рассмотренный теоретический аппарат используется для описания боевых действий и построения моделей боя.

Плотность потока выстрелов (рис. 3.12). На рисунке обозначено —поток выстрелов, характеризующийся интенсивностью Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru * *— поток успешных выстрелов с интенсивностью Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru . Очевидно, что Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — вероятность поражения цели одним выстрелом.

Простейшая модель боя. Имеются две противодействующие группировки. Каждая состоит из однородных между собой боевых единиц. Первая группировка из Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , единиц, вторая из Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru единиц.

Пусть любая боевая единица, пока она не поражена, производит случайный пуассоновский поток выстрелов с некоторой средней скорострельностью; любая боевая единица первой

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Рис. 3.12. Поток выстрелов

группировки может стрелять по любой из второй и, наоборот, одним выстрелом нельзя поразить больше одной цели; если цель поражена мгновенно, огонь переносится на другую цель.

Используются обозначения: Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — среднее число боевых единиц первой группировки, сохранившихся непораженными к моменту t; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — среднее число боевых единиц второй группировки, сохранившихся непораженными к моменту t; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru --средняя скорострельность (число выстрелов в единицу времени) для одной боевой единицы первой стороны; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — средняя скорострельность для одной боевой единицы второй стороны;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru —вероятность, с которой поражает цель один выстрел орудия первой стороны; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — вероятность, с которой поражает цель один выстрел орудия второй стороны,

Тогда Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — пуассоновские потоки успешных выстрелов. За малый промежуток времени Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru наблюдаются изменения:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru -среднего числа боевых единиц первой группировки;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru среднего числа боевых единиц второй группировки

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Через предельный переход получаются уравнения динамики боя:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ---уравнения Ланчестера 2-го рода.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

при t=0: Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Решение системы при Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Рассмотренная модель динамики средних, оперирующая математическими ожиданиями числа участвующих в бою единиц, построена для простейшего случая: противоборствующие группировки состоят из определенного количества однотипных единиц, характеризуемых скорострельностями и вероятностями поражения единицы противника. Такая модель обладает достаточной точностью при сравнительно большом числе единиц (>10).

При новых обозначениях Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru система уравнений имеет вид

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

при t=0, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Здесь Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — характеристики интенсивности воздействия.

Тогда

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Решение системы уравнений при этом запишется как

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При обозначении Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru решение получает вид

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

При Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru (силы сторон равны) Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — характеризует преимущество первой стороны над второй.

Если Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru >1, то победит первая группировка, если Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru <1, победит вторая группировка.

При обозначении Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru время окончания боя

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Количество сохранившихся единиц более сильной стороны

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Условие победы Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru > Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Несмотря на кажущуюся простоту, эта модель дает возможность учесть влияние многих факторов. В частности, если | рассматривается противотанковая артиллерия и танки, то можно учесть влияние скорострельности, точности и кучности стрельбы (через Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ), размеры и степень защищенности противотанковых комплексов (через Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Суммарные затраты на поражение группировки танкой в этом случае

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — стоимость орудия; Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — стоимость выстрела.

Пример. Подразделение из восьми противотанковых пушек, любая из которых обладает скорострельностью Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в/мин и вероятностью поражения танка Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru = 0,8, противостоит группировке в десять танков, каждый из которых обладает практической скорострельностью Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru в/мин и Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru = 0,4. Определить исход боя и суммарные затраты противотанковой группировки, если стоимость орудия 1000 усл. ед., стоимость выстрела 10 усл. ед.

Решение. Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru = 10 * 0,8 * 82 = 512, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru = 4 *4* 102== 160 Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru >

> Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru , таким образом, противотанковая группировка выигрывает бой.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru орудий — число сохранившихся противотанковых пушек.

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru усл. ед.

Если бы противодействие противника не учитывалось, то Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru усл. ед. всего. Модель может усложняться за счет учета влияния маневренности, разведки и т. п.

При более полном описании боевых действий необходимо рассмотреть по возможности все физические состояния, позволяющие учесть все основные факторы, влияющие на эффективность функционирования системы.

Для разработки модели системы, описываемой уравнением для марковского процесса с непрерывным временем и дискретным числом состояний, необходимо определить основные типы средств, входящих в систему; основные физические состояния; значения интенсивностей; начальные условия для интегрирования, а также составить систему дифференциальных уравнений, описывающую вероятности состояний системы в процессе функционирования.

В качестве примера модели, учитывающей маневренность арткомплекса, рассматривается система, изображенная на рис. 3.13.

Состояния данной системы:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — выдвижение артсистемы из выжидательного района (BP) или перемещение па новую огневую позицию (ОП);

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — перевод артсистемы из походного положения в боевое (развертывание);

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — выполнение огневой задачи;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — перевод из боевого положения в походное (свертывание) ;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — перемещение с заданной ОП на другую (или в ВР);

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — переход в состояние Поражения;

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — интенсивности перехода из состояния в состояние ( Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru так как цель точечная).

Каждое состояние артсистемы характеризуется своей ве­роятностью Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru Вероятности Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru определяются системой уравнений Колмогорова:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

где Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Начальные условия:

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Решение системы может быть получено аналитически (в виде суперпозиции экспонент, например: Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Среднее время пребывания артсистемы и i-м состоянии при наличии противодействия противника может быть определено как

Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru

Анализируя результаты решения (например, значения Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru ), можно определить направления улучшения характеристик артсистемы. Одним из резервов повышения непоражаемости является конструктивное усовершенствование артсистемы в направлении уменьшения временных характеристик Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru (например, уменьшение времени Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru за счет механизации и автоматизации процессов подготовки и выполнения огневых задач).

В качестве примера модели, учитывающей влияние разведки на функционирование основных средств системы, рассматривается марковский процесс двусторонних боевых действий группировок, каждая из которых состоит из однородных боевых средств (подвижных). Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — общее число средств первой стороны, Краткие сведения из теории стрельбы - student2.ru — о

Наши рекомендации