Понятие и свойства собственных чисел и векторов

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц – одна из наиболее сложных задач линейной алгебры, возникающих в процессе моделирования и анализа процессов функционирования динамических систем, статистического моделирования. Так, например, собственные векторы ковариационной матрицы случайного вектора определяют направления главных осей гиперэллипсоида рассеивания значений этого вектора, а собственные числа – растяжение или сжатие гиперэллипсоида по его главным осям. В механике собственные векторы и числа тензора инерции характеризуют направление главных осей и главные моменты инерции твёрдого тела.

Различают полную (алгебраическую или, иначе, матричную) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар некоторой матрицы , и частичные проблемы собственных значений, состоящие, как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел и, возможно, соответствующих им собственных векторов . Чаще всего, в последнем случае речь идет о нахождении наибольшего и наименьшего по модулю собственных чисел; знание таких характеристик матрицы позволяет, например, делать заключения о сходимости тех или иных итерационных методов, оптимизировать их параметры и т.д.

Задачу на собственные значения можно сформулировать так: для каких ненулевых векторов и чисел линейное преобразование вектора с помощью матрицы не изменяет направления этого вектора в пространстве, а сводится лишь «растяжению» этого вектора в раз? Ответ на этот вопрос заключается в нетривиальных решениях уравнения

, (1.2)

где – единичная матрица. Теоретически эта задача легко решаема: нужно найти корни так называемого характеристического уравнения

(1.3)

и, подставляя их поочередно в (1.2), получать из соответствующих переопределенных систем собственные векторы.

Практическая реализация такого подхода сопряжена с рядом трудностей, возрастающих с ростом размерности решаемой задачи. Трудности эти обусловлены развертыванием определителя и вычислением корней получающегося при этом многочлена n-й степени, а также поиском линейно независимых решений вырожденных систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим, такой непосредственный подход к решению алгебраической проблемы собственных значений обычно применяют лишь при очень малых размерах матриц (n= 2, 3). Уже при n > 4 на первый план выходят специальные численные методы решения таких задач, один из которых, опирающийся на матричное преобразование подобия, будет рассмотрен далее. Напомним, что подобными называются матрицы и , где С – произвольная невырожденная матрица.

Перечислим кратко основные свойства собственных чисел и векторов:

1. Если – собственная пара матрицы А, а – некоторое число, то также является собственной парой для А. Это означает, что каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов, различающихся лишь скалярным множителем.

2. Пусть – собственная пара матрицы , где – некоторое действительное число. Тогда – собственная пара матрицы А. Таким образом, прибавление к данной матрице А диагональной матрицы не изменяет ее собственных векторов и смещает спектр исходной матрицы на число (влево при ). Спектром матрицы называется множество всех ее собственных значений.

3. Если – собственная пара обратимой матрицы , то – собственная пара матрицы .

4. Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются их диагональные элементы, т.к. характеристическое уравнение (1.3) с учётом (1.1) для таких матриц может быть записано в виде:

.

Последнее равенство показывает, что диагональные и треугольные вещественные матрицы имеют только вещественные собственные значения (ровно n с учетом возможной их кратности). Вещественность собственных чисел присуща и очень важному в приложениях классу симметричных матриц, к числу которых относятся ковариационные матрицы и тензоры инерции.

5. Если – собственная пара матрицы , то – собственная пара матрицы А Таким образом, преобразование подобия сохраняет неизменным спектр любой матрицы.

6. Пусть А – матрица простой структуры размерности , а матрицы и образованы из ее собственных чисел и собственных векторов соответственно. Тогда справедливо равенство . Так как для диагональной матрицы , образованной из собственных чисел, собственными векторами могут служить единичные векторы исходного базиса ( , ), то, используя свойство 5 и принимая и (т.е. ), свойство 6 можно сформулировать иначе: если является собственной парой матрицы , то есть собственная пара матрицы А.