Наибольшее и наименьшее значения функции

На отрезке

Пусть функция Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru непрерывна на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru отрезка Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , либо на границе отрезка, т.е. при Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru или Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Если Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , то точку Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru следует искать среди критических точек данной функции.

Наибольшее значение функции Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru на Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru называется абсолютным максимумом, а наименьшее – абсолютным минимумом.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru :

1) найти критические точки функции на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru и Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Решение. Находим критические точки данной функции:

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ;

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru при Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru и при Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Находим:

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Итак, Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru в точке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru в точке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

,

Если промежуток открытый, функция принимает наибольшее и наименьшее значения только в точках экстремума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между a и b находится только одна критическая точка Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru (промежуток может быть и открытым, и бесконечным). Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то в этой точке будет и наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольшего и наименьшего значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики – линейное программирование.

Задачи на нахождение максимума или минимума – наибольшего или наименьшего значений – называются экстремальными задачами, которые можно записать в виде формулы:

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Пример 5.3. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?

Решение. Обозначим через x и y высоту и диаметр цилиндра.

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru

Находим наибольшее значение функции Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru на промежутке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Так как Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , то Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru при Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Кроме того, Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Поэтому Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru – точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ) при Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ; диаметр основания цилиндра равен

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , и диаметр, равный Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

,

Выпуклость и вогнутость графика функции.

Точки перегиба

Определение 5.2. График дифференцируемой функции Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru называется выпуклым на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , если он расположен ниже любой своей касательной, т.е. Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , и вогнутым, если он расположен выше касательной, т.е. Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Определение 5.3. Точки график, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика.

Интервалы выпуклости и вогнутости находятся с помощью следующей теоремы, которую примем без доказательства.

Теорема 5.5. Пусть функция Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru определена и дважды дифференцируема на Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , т.е. существует Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Тогда если Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru на Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , то на этом промежутке график вогнутый, если Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , то график выпуклый.

Сформулируем необходимое и достаточное условие точки перегиба в виде теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 5.6 (необходимое условие точки перегиба). Пусть дана функция Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , дважды дифференцируемая на X. Если в точке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru график этой функции имеет перегиб и существует конечная вторая производная Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , то Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Теорема 5.7 (достаточное условие точки перегиба). Если функция Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru дважды непрерывно дифференцируема на X и при переходе через точку Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru производная Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru меняет знак, то точка Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru является точкой перегиба функции Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Пример 5.4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба, графика функции:

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Решение. Функция определена на Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Находим:

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru ;

Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru .

Из условия Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru имеем: Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Критической точкой будет Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Исследуем знак второй производной Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru вблизи этой точки.

При Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , а при Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru . Следовательно, на интервал Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru график выпуклый, на Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru – вогнутый, а в точке Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru имеет перегиб.

,

Асимптоты графика функции

Определение 5.5. Прямая L называется асимптотой кривой, заданной уравнением Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , если расстояние между точками кривой и прямой стремится к нулю с удалением точки на кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Вертикальная асимптота

Прямая Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru является вертикальной асимптотой, если точка Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru – есть точка разрыва второго рода функции Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru , т.е. если хотя бы один из односторонних пределов Наибольшее и наименьшее значения функции - student2.ru равен бесконечности.

Наши рекомендации