Линейные операции над векторами и их свойства

Линейная алгебра

Определение. Матрицей А размера Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называется таблица чисел, записанная в виде

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Короче матрицу обозначают так:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Числа Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называются элементами матрицы. Элементы матрицы образуют столбцы и строки. В обозначении элемента Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru первый индекс Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru указывает номер строки, а второй Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru - номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Если в матрице число строк равно числу столбцов Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , то матрица называется квадратной n-го порядка. Если же Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , то матрица называется прямоугольной.

В матрице А m строк и n столбцов.

Если Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , то получается однострочная матрица Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , которая называется вектор-строкой.

Если же Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , то получается одностолбцовая матрица

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

,

которая называется вектор-столбцом.

Две матрицы: Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , если Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru при всех i,j (при этом число столбцов и строк матриц А и В должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим операции над матрицами.

Суммой двух матриц Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru одного размера Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называется новая матрица Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru того же размера Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , элементы которой определяются равенством

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Обозначение: A+B=C .

Пример 1.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Аналогично определяется разность двух матриц.

Чтобы умножить матрицу Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru на число l, нужно умножить на это число все элементы матрицы

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Пример 2.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Произведение двух матриц.

Произведением матрицы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru размера Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru (m строк, k столбцов) на матрицу Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru размера Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru (k строк, n столбцов) называется матрица Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru размера Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru (m строк, n столбцов), у которой элемент Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т.е.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

При этом число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение матриц не определено.

Обозначение: Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Пример 3.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Пример 4.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Отсюда видно, что Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ,т.е. умножение матриц не перестановочно.

Легко проверить, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие свойства.

1. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

2. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

3. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

4. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Единичная матрица.

Совокупность элементов Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru квадратной матрицы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называется главной диагональю матрицы.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Единичной матрицей 3-го порядка будет Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Произведение квадратной матрицы любого порядка на единичную матицу того же порядка не меняет данную матрицу.

Пример 5.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Очевидно, Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Определители и их свойства

Рассмотрим квадратную матрицу3-го порядка.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Определение. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим матрице А, называют число, обозначаемое символом

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

и определяемое равенством

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Числа Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называется главной , а диагональ, образованная элементами Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru -побочной.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (*) берутся со знаком +, а какие со знаком - , полезно пользоваться правилом треугольников.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Пример.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Замечание

Определителем 2-го порядка Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , соответствующим матрице Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , называется число, равное Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Определение. Минором Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru элемента Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru определителя называется определитель, полученный из данного, вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru элемента Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называется минор этого элемента Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , умноженный на Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , т.е.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей третьего порядка.

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы определителя поменять местами.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

2. При перестановке двух рядом стоящих строк (или столбцов) определителя знак определителя меняется на противоположенный, т.е.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов некоторого столбца (или строки) выносится за знак определителя

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

5. Если все элементы столбца (строки) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном на месте суммы стоит первое слагаемое, в другом –второе.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число, то определитель при этом не изменится.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Представление определителя в соответствии со свойством 9 называется разложением определителя по элементам некоторого столбца (строки).

10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

Пример.

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Векторная алгебра

Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы измерения длины и трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей: Ox,Oy, и Oz.

Точка Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru - начало координат, Ox- ось абсцисс, Oy-ось ординат,

Oz – ось аппликат.

Пусть М- произвольная точка пространства (рис. 1.1). Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox, Oy, и Oz. Точка пересечения построенных плоскостей обозначается через Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru соответственно.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Прямоугольными координатами точки М называются числа

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru При этом называют Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru - абсциссой, Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru – ординатой, Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru – аппликатой точки М.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru При заданной системе координат каждой точке М соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x, y, z) – её прямоугольные координаты и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x, y, z) соответствует, и при том одна, точка М в пространстве.

Плоскости Oxy,Oxz,Oyz называются координатными плоскостями.

Скалярные и векторные

Величины

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Некоторые величины в физике, механике и других науках полностью определяются заданием одного числа. Например, объем, масса, температура и др. Такие величины называются скалярными, а числа иногда называют скалярами. Но есть величины, для определения которых надо задать не только число, но и направление. Например, при изучении движения тела мы должны указать не только величину скорости, с которой движется тело, но и направление движения. При определении действия силы необходимо указать не только величину этой силы, но и направление её действия.

Такие величины называются векторными. Для работы с ними было введено понятие вектора, имеющее и самостоятельное значение в математике.

Любая упорядоченная пара точек А и B в пространстве определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нём направлением. Если точка А – первая, то её называют началом отрезка, а точку B – его концом. Направлением отрезка считается направление от начала к концу отрезка.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, или (что то же самое) упорядоченная пара точек.

Вектор обозначается Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru - двумя буквами, при этом первая буква- начало вектора, а вторая - его конец.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Вектор можно обозначать одной буквой с черточкой наверху - Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru . Направление вектора на рисунке указывается стрелкой.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (или модулем)и обозначается Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru или Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Векторы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления, длина его, очевидно, равна нулю, т.е. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Определение. Векторы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называются равными Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , если они:

а) коллинеарны;

б) одинаково направлены;

в) равны по длине.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, т.е. начало вектора может быть в любой точке пространства, но длина и направление фиксированы. Такие векторы называются свободными. В дальнейшем будем изучать только свободные векторы, называя их просто векторами.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим некоторый вектор Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и числовую ось Ou. Проведём через точки A и B плоскости, перпендикулярные к оси Ou. Обозначим через Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru точки пересечения этих плоскостей с осью.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Проекция вектора AB на ось Ou обозначается прuAB.

Определение. Проекцией вектора AB на ось Ou называется число, равное Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , если направление Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru совпадает с направлением Ou и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , если направление Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru противоположно Ou.

Нетрудно показать, что

прuAB= Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ,

где j - угол, образованный вектором AB с осью Ou .

 
  Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Координаты вектора. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и произвольный вектор Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru . Пусть далее

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Проекции X, Y, Z вектора Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называют его координатами и записывают так: Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Для любых точек Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru координаты вектора Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru определяются формулами

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

В этом случае модуль вектора Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru находится по формуле

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Если через Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru обозначить углы наклона вектора к осям координат, то

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru называют направляющими косинусами вектора Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Очевидно, что Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Пример.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования её строки:

а) перестановка двух каких-нибудь строк;

б) умножение элементов какой-либо строки на число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число.

Пример.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Из последней матрицы (ступенчатый вид) видно, что Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Приведем несколько утверждений без доказательств.

Теорема 1. При элементарных преобразованиях и отбрасывании нулевой строки ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2. Всякую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и выбрасывания нулевых строк.

Теорема 3. Ранг ненулевой матрицы равен числу строк её ступенчатого вида.

Рассмотрим систему:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Определение. Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru присоединить столбец из свободных членов системы.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Расширенная матрица- это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями мы можем заменить работой со строками матрицы.

Эффективным методом решения и исследования системы линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида (или, в частности, треугольную систему), которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Рассмотрим систему Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru линейных уравнений с Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru неизвестными Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ,которую запишем в виде расширенной матрицы:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Заметим, что иногда могут встречаться уравнения, все коэффициенты которых (т.е. соответствующая строка матрицы) равны 0:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Если в этом уравнении Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , то ему, очевидно, не удовлетворяют никакие значения неизвестных, и система, содержащая хотя бы одно такое уравнение, несовместна, т.е. не имеет решения. Если же Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , то ему удовлетворяют любые решения неизвестных, т.е. рассматриваемое уравнение является тождеством и его можно удалить из системы.

Элементарные преобразования матрицы, рассмотренные ранее, можно производить и над расширенной матрицей системы, поэтому в дальнейшем будем говорить об элементарных преобразованиях, не делая различий между уравнениями системы и строками расширенной матрицы.

Разберём идею метода Гаусса на конкретных примерах.

Пример 2.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Решение.

I этап: запишем систему в виде расширенной матрицы

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

II этап: исключим с помощью первого уравнения x из остальных уравнений. Для этого домножим первую строку на –3 и сложим её со второй, затем умножим первую строку на –2 и сложим её с третьей.

Получим

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Последняя строка состоит из нулей, если её расписать в виде уравнения, то получим

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Это уравнение является тождеством, поэтому его нет смысла оставлять в системе.

Раскодируем полученную матрицу:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Выразим из второго уравнения Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru :

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Подставим в первое уравнение вместо Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru его выражение через Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и выразим Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru :

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ,

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Ответ:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Получим так называемое общее решение системы, которое является формулой для получения конкретных её решений. Эти конкретные решения системы называются частными решениями. Получают их следующим образом: придавая переменным Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru произвольные значения и находя по этим значениям Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , всякий раз находят решение системы. Так как Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru можно придавать произвольные значения, то эти переменные называются свободными. Неизвестные Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , значения которых вычисляются по значениям Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , называются базисными.

Получим одно из частных решений в предыдущем примере. Пусть Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , а Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , тогда Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Ответ: Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru -частное решение.

Пример 3.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Решение.

Закодируем систему и приведем матрицу к треугольному виду

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Таким образом, заданная система равносильна следующей:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Находим Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru из последнего уравнения, затем Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru из второго, и наконец, из первого:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Ответ: Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Пример 4.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Выпишем расширенную матрицу и упростим её:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Полученная система

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

несовместна, так как её последнее уравнение не имеет смысла. Следовательно, исходная система также несовместна.

Построение обратной матрицы

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Пусть матрица Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru - невырождена, т.е.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Построим союзную матрицу Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , которая составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , причём в столбцах матрицы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru записываются алгебраические дополнения соответствующих строк этой матрицы.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , где

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Обратная матрица Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru имеет вид

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Решим систему (см. пример 1) матричным способом.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Здесь

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Решим матричное уравнение Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Составим обратную матрицу Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Выпишем все алгебраические дополнения для данной матрицы.

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Составим матрицу Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Решим матричное уравнение

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Отсюда получаем решение системы:

Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Ответ: Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Замечание.

Аналогично, матричным способом, можно решать любые системы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru уравнений с Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru неизвестными, если только определитель системы не равен нулю.

Контрольная работа №1 по теме

«Элементы линейной и векторной алгебры»

1.1. Вычислить определитель.

1.1.1. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.1.2 Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.1.3. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.1.4. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.1.5 Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.1.6. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.1.7. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.1.8 Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.1.9. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.1.10. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru        
             

1.2. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными тремя способами: методом Гаусса, по формулам Крамера и матричным способом.

1.2.1. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.2.2. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.2.3. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.2.4. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.2.5. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.2.6. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.2.7. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.2.8. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.2.9. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru 1.2.10. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

1.2. Вычислить Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

1.3.1. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.2. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.3. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.4. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.5. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.6. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.7. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.8. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.9. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.3.10. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

1.4. Даны векторы Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

1. Показать, что Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru образуют базис и найти координаты вектора Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru в этом базисе.

2. Найти: a) Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

б) Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

в) Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

г) Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

д) Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

е) угол между векторами Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .


1.4.1. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.2. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.3. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.4. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.5. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.6. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.7. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.8. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.9. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.4.10. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

1.5. Даны точки Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

1. Показать, что точки Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru , Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru не лежат в одной плоскости.

2. Вычислить: а)объем пирамиды ;

б)длину ребра Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

в) площадь грани Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru ;

г)угол между гранями Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru и Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru .

1.5.1. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.2. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.3. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.4. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.5. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.6. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.7. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.8. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.9. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru
1.5.10. Линейные операции над векторами и их свойства - student2.ru

Наши рекомендации