Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии

Доктор техн. наук, профессор А.Н. Голубев

Введение

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух основных частей: теории цепей (два семестра) и теории электромагнитного поля (один семестр). Данный лекционный курс посвящен первой из указанных частей ТОЭ -теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей. Содержание курса и последовательность изложения материала в нем в целом соответствуют программе дисциплины ТОЭ для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов.

Цель данного курса состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об электрических и магнитных цепях и их составных элементах, их математических описаниях, основных методах анализа и расчета этих цепей в статических и динамических режимах работы, т.е. в создании научной базы для последующего изучения различных специальных электротехнических дисциплин.

Задачи курса заключаются в освоении теории физических явлений, положенных в основу создания и функционирования различных электротехнических устройств, а также в привитии практических навыков использования методов анализа и расчета электрических и магнитных цепей для решения широкого круга задач.

В результате изучения курса студент должен знать основные методы анализа и расчета установившихся процессов в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами, в линейных цепях несинусоидального тока, в линейных цепях с распределенными параметрами, основные методы анализа и расчета переходных процессов в указанных цепях и уметь применять их на практике.

Знания и навыки, полученные при изучении данного курса, являются базой для освоения таких дисциплин, как: математические основы теории автоматического управления, теория автоматического управления, электропривод, промышленная электроника, электроснабжение промышленных предприятий, переходные процессы в электрических системах, электрические измерения и т. д.

При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики.

Курс рассчитан на 86 лекционных часов и включает в себя следующие основные разделы:

-теория линейных цепей синусоидального и, как частный случай, постоянного тока;

-основы теории пассивных четырехполюсников и фильтров;

-трехфазные электрические цепи;

-линейные цепи при периодических несинусоидальных токах;

-переходные процессы в линейных электрических цепях;

-нелинейные электрические и магнитные цепи при постоянных и переменных токах и магнитных потоках в стационарных режимах;

-переходные процессы в нелинейных цепях;

-установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.

При подготовке лекционного курса были использованы известные учебники, сборники и пособия [1…12], а также методические разработки кафедры ТОЭЭ ИГЭУ.

Рекомендуемая учебно-методическая литература по дисциплине:

  1. Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  3. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. М.:Энергия, 1972. –240с.
  4. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
  5. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. вузов. –3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400 с.
  6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с.
  7. Каплянский А.Е.и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с.
  8. Теоретическиеосновы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.
  9. Теоретическиеосновы электротехники. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –383 с.
  10. Сборникзадач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.
  11. Сборникзадач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.
  12. Сборникзадач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под ред. Бессонова Л.А. . –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1980. –472 с.
  13. Основыанализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/ Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 1999. -360 с.
  14. Голубев А.Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 2002. -212 с.



Теория / ТОЭ / Лекция N 1. Элементы электрических цепей.
Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС). При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической энергии и (или) информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии, а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электрической энергии. У каждого элемента цепи можно выделить определенное число зажимов (полюсов), с помощью которых он соединяется с другими элементами. Различают двух –и многополюсные элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии (за исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы. Многополюсные элементы – это, например, триоды, трансформаторы, усилители и т.д. Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К основным характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются нелинейными. Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое описание и анализ процессов, определяется границами изменения характеризующих их переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента. Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, определяющих его геометрические размеры, то он называетсяэлементом с сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии (длинная линия). Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных. Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и параметры. 1. Резистивный элемент (резистор) Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резистор – это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным сопротивлением r (Ом´ м) или обратной величиной – удельной проводимостью Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (См/м). В простейшем случае проводника длиной Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru и сечением S его сопротивление определяется выражением Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, разделяющей два электрода. Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (или Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru ), называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор называется линейным и описывается соотношением Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru или Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , где Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru - проводимость. При этом R=const. Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как будет показано в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие статическое Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru и дифференциальное Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru сопротивления. 2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности) Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. 2,а. Катушка – это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле. Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам катушки, Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки, на число этих витков Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , где Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. 2,б); при этом Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru на рис. 2,б) определяет наличие у нее сердечника из ферромагнитного материала, для которого зависимость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru магнитной индукции от напряженности поля нелинейна. Без учета явления магнитного гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru и дифференциальной Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru индуктивностями. 3. Емкостный элемент (конденсатор) Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а. Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная диэлектрическая проницаемость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru =const. В этом случае зависимость Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рис. 3,б) и Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (рис. 3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный конденсатор характеризуется статической Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru и дифференциальной Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru емкостями.   Схемы замещения источников электрической энергии Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , называемой внешней характеристикой источника. Далее в этом разделе для упрощения анализа и математического описания будут рассматриваться источники постоянного напряжения (тока). Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы в полной мере распространяются на источники переменного тока. ВАХ источника может быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. 4,а. Здесь вольтметр V измеряет напряжение на зажимах 1-2 источника И, а амперметр А – потребляемый от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного нагрузочного резистора (реостата) RН. Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рис. 4,б). Она имеет две характерные точки, которые соответствуют: а – режиму холостого хода Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru ; б –режиму короткого замыкания Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . Для большинства источников режим короткого замыкания (иногда холостого хода) является недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими номинальному режиму (режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия его эксплуатации в отношении экономичности и долговечности срока службы). Это позволяет в ряде случаев для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную ВАХ на рабочем участке m-n (см. рис. 4,б) прямой, положение которой определяется рабочими интервалами изменения напряжения и тока. Следует отметить, что многие источники (гальванические элементы, аккумуляторы) имеют линейные ВАХ. Прямая 2 на рис. 4,б описывается линейным уравнением
Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , (1)

где Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru - напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке (разомкнутом ключе К в схеме на рис. 4,а); Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru - внутреннее сопротивление источника.

Уравнение (1) позволяет составить последовательную схему замещения источника (см. рис. 5,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru не зависит от тока источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 5,б. На основании (1) у такого источника Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах источника противоположны.

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы.

Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим левую и правую части соотношения (1) на Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru . В результате получим

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

или

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , (2)

где Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru ; Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru - внутренняя проводимость источника.

Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а.

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток в ветви с этим элементом равен Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru и не зависит от напряжения на зажимах источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у такого источника Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , т.е. его внутреннее сопротивление Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru .

Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru последовательная и параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной – нет.

Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется максимальная мощность

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , (3)

Условие такого режима

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , (4)

В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальные источники ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с.
  4. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат?
  2. Какой режим (холостой ход или короткое замыкание) является аварийным для источника тока?
  3. В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем замещения источника?
  4. Определить индуктивность L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней I=20А потокосцепление y =2 Вб.

Ответ: L=0,1 Гн; WМ=40 Дж.

  1. Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при напряжении на его обкладках U=400 В заряд конденсатора q=0,2´ 10-3 Кл.

Ответ: С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж.

  1. У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I1=50Анапряжение на зажимах U1=210 В,а притоке, равном I2=100А, оно снижается до U2=190 В.
  2. Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого замыкания.

Ответ: Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

  1. Вывести соотношения (3) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую нагрузке, по условиям предыдущей задачи.

Ответ: Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru


Теория / ТОЭ / Лекция N 2. Топология электрической цепи.
Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла. Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru
Рис.1 Рис.2

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

Рис.4

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , а числа ветвей связи графа Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

  • главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;
  • главное сечение– сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.

Топологические матрицы

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу АН , принимая, что элемент матрицы Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим

    Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru
Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

    Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru
Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (1)

где Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru - вектор плотности тока; Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru - нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru .

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (2)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

I= Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

АI=O (3)

– где O- нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

Отсюда для первого узла получаем

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru ,

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru   Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru
Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (4)

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (5)

- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

U= Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

BU = 0. (6)

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru ,

откуда, например, для первого контура получаем

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru ,

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru = Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

причем потенциал последнего узла Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

U=AТ Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru (7)

где AТ - транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В= (-АТСА-1ТД1).

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

Матрица Q, составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Qравно числу независимых сечений.

Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение.

В качестве примера составим матрицу Qглавных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

    Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru
Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru

В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

АВТ= 0; (8)
Т= 0, (9)

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии - student2.ru .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

Литература

1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

3. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
  2. Что такое узловая матрица?
  3. Что такое контурная матрица?
  4. Что такое матрица сечений?
  5. Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной сист

Наши рекомендации