Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Чтобы решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , (2.4)

надо составить характеристическое уравнение

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru (2.5)
и найти его корни Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Общее решение уравнения (2.4) есть линейная комбинация слагаемых вида Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru для каждого простого корня Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru уравнения (2.5) и слагаемых вида

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

для каждого корня Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru уравнения (2.5) кратности Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . Все Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – произвольные постоянные. Корни характеристического уравнения могут быть как действительными, так и комплексными числами.

Если все коэффициенты уравнения (2.4) вещественные, то его решение всегда может быть записано в вещественной форме даже в случае комплексных корней уравнения (2.5). Для каждой пары комплексно-сопряженных корней Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru характеристического уравнения в формулу общего решения включаются слагаемые Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , если эти корни простые, и слагаемые Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , если каждый из комплексных корней имеет кратность Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . Здесь Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – многочлены степени Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , коэффициенты которых – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. Имеем

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru
Откуда Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Поэтому общее решение уравнения имеет вид

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru
где Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – произвольные постоянные.

Общее решение линейного неоднородного уравнения

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru (2.6)
имеет вид Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – общее решение соответствующего однородного уравнения (24), а Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (2.6).

Для уравнения (2.6) с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru
и правой частью Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru специального вида, то есть состоящей из сумм и произведений функций Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru частное решение Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru можно искать методом неопределенных коэффициентов.

Для уравнений с правой частью вида

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , (2.7)
где Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – многочлен степени Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , частное решение имеет вид Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . Здесь Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – многочлен той же степени Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , а Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , если Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru не является корнем характеристического уравнения (2.5), если же Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – корень характеристического уравнения, то Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – его кратность. Чтобы найти коэффициенты многочлена Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , нужно подставить в уравнение (2.6) значение Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru и его производных и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях получившегося равенства.

Для уравнения с правой частью вида

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru (2.8)
можно искать частное решение в виде Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , а Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , если Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru не является корнем характеристического уравнения (2.5) и Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru равно кратности этого корня в противном случае.

Если правая часть уравнения представляет собой сумму Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru функций вида (2.7) и (2.8), то частное решение ищется в виде суммы Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – частное решение уравнения (2.6) с Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Пример.Найти общее решение уравнения

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение.Характеристическое уравнение Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru имеет корни Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . Частное решение неоднородного уравнения представляет собой сумму Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – частное решение уравнения

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , (2.9)
а Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – частное решение уравнения

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . (2.10)

Так как число 1 является корнем характеристического уравнения, то Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru будем искать в виде Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Подставив в уравнение (2.9) выражения для Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru и его производных и приведя подобные члены, получим

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru
Итак, Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Поскольку числа Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru не являются корнями характеристического уравнения, то Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru будем искать в виде Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Подставив в уравнение (2.10) выражения для Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru и его производных и приведя подобные члены, получим

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru
Итак, Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Окончательно получаем

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Частное решение линейного уравнения (2.6) с произвольной правой частью может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Пусть найдено общее решение Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru линейного однородного уравнения (2.4). Тогда частное решение неоднородного уравнения (2.6) ищется в виде Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru . Функции Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru определяются из системы

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru (2.11)

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Пример. Найти общее решение уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Корни его характеристического уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Поэтому общее решение однородного уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Для нахождения производных функций Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru запишем систему (2.11):

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru
Решив эту систему, получим Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Здесь Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru – частное решение исходного неоднородного уравнения.

Задание 8

Найти общее решение дифференциального уравнения

1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

18. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

20. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

22. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

25. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

26. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

27. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

28. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

30. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

31. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Задание 9

Найти общее решение дифференциального уравнения

1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

18. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

20. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

22. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

25. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

26. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

27. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

28. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

30. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

31. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Задание 10

Найти общее решение дифференциального уравнения

1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

18. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

20. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

22. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

25. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

26. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

27. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

28. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

30. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

31. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

Задание 11

Найти решение задачи Коши

1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

18. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

20. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

22. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

25. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

26. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

27. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

28. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

30. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru

31. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами - student2.ru


Наши рекомендации