Применение операционного исчисления к решению линейных

Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и

Непрерывной правой частью

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru , (6. 1)

f (t) – непрерывная функция действительного переменного.

Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru (6. 2)

где Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru – заданные числа (задача Коши).

Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) = L–1{F (p)}, y (t) = L–1{Y (p)}.

Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).

Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru . (6.3)

Из уравнения (6. 3) выразим Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .Искомое частное решение y(t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.

Задание 4. Найти частное решение уравнения Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru удовлетворяющее начальным условиям: Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Решение.Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y(p) – его изображение. Тогда:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Операторное уравнение будет иметь вид

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

откуда

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Дробь Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru разложим на сумму простых элементарных дробей и найдем коэффициенты разложения:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Из системы:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Откуда Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Тогда

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Используя таблицы соответствия, найдём: Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Таким образом, искомое частное решение: Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Тема 7. Основные уравнения математической физики.

1.Знать определение дифференциального уравнения в частных производных.

2.Знать, что является решением дифференциальных уравнений в частных производных, какие условия являются начальными, а какие граничными (краевыми).

3.Уметь находить решение задачи Коши о колебаниях бесконечной струны .

Задания для самостоятельного выполнения

1Методом Даламбера найти уравнение u = u(x.t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

если в начальный момент t0 = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями

u(x,0) = fx), Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru :

а) Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru ; б) Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Образец решения задания

Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

при начальных условиях

u(x,0) = fx), Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Искомое решение задачи Коши для бесконечной струны u(x,t) определяется по формуле:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru ,

которая называется формулой Даламбера для бесконечной струны.

Задание 1. Найти форму бесконечной однородной струны, если начальная форма струны f(x) = ex, а начальная скорость ее F(x) = cos2x.

Решение.Искомое решение u(x,t) найдем по формуле Даламбера:

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Так как f(x) = ex, F(x) = cos2x, то

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru

Применение операционного исчисления к решению линейных - student2.ru .

Тема 8. Математическая статистика

Наши рекомендации