Применение операционного исчисления к решению линейных
Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и
Непрерывной правой частью
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (6. 1)
f (t) – непрерывная функция действительного переменного.
Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
(6. 2)
где – заданные числа (задача Коши).
Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) = L–1{F (p)}, y (t) = L–1{Y (p)}.
Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).
Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:
Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:
. (6.3)
Из уравнения (6. 3) выразим .Искомое частное решение y(t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.
Задание 4. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:
Решение.Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y(p) – его изображение. Тогда:
Операторное уравнение будет иметь вид
откуда
.
Дробь разложим на сумму простых элементарных дробей и найдем коэффициенты разложения:
Из системы:
Откуда .
Тогда
.
Используя таблицы соответствия, найдём:
Таким образом, искомое частное решение:
Тема 7. Основные уравнения математической физики.
1.Знать определение дифференциального уравнения в частных производных.
2.Знать, что является решением дифференциальных уравнений в частных производных, какие условия являются начальными, а какие граничными (краевыми).
3.Уметь находить решение задачи Коши о колебаниях бесконечной струны .
Задания для самостоятельного выполнения
1Методом Даламбера найти уравнение u = u(x.t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением
если в начальный момент t0 = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями
u(x,0) = fx), :
а) ; б) .
Образец решения задания
Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны. Пусть требуется найти решение волнового уравнения
при начальных условиях
u(x,0) = fx), .
Искомое решение задачи Коши для бесконечной струны u(x,t) определяется по формуле:
,
которая называется формулой Даламбера для бесконечной струны.
Задание 1. Найти форму бесконечной однородной струны, если начальная форма струны f(x) = ex, а начальная скорость ее F(x) = cos2x.
Решение.Искомое решение u(x,t) найдем по формуле Даламбера:
.
Так как f(x) = ex, F(x) = cos2x, то
.
Тема 8. Математическая статистика