Периодические функции и их свойства

О п р е д е л е н и е 1. Функция периодические функции и их свойства - student2.ru называется в области периодические функции и их свойства - student2.ru периодической функцией с периодом Т (или Т– периодической функцией), если существует такое положительное число Т, при котором периодические функции и их свойства - student2.ru и

периодические функции и их свойства - student2.ru (1)

Наименьшее из чисел Т, при которых выполнено условие (1), называется главным периодом функции периодические функции и их свойства - student2.ru .

О п р е д е л е н и е 2.Процессы, описываемые периодическими с периодом периодические функции и их свойства - student2.ru функциями

периодические функции и их свойства - student2.ru (2)

где периодические функции и их свойства - student2.ru постоянные числа и периодические функции и их свойства - student2.ru называют гармоническими колебаниями. При этом называют:

периодические функции и их свойства - student2.ru периодом колебаний, периодические функции и их свойства - student2.ru круговой частотой колебаний,

периодические функции и их свойства - student2.ru амплитудой колебаний, периодические функции и их свойства - student2.ru фазой колебаний,

периодические функции и их свойства - student2.ru начальной фазой (или сдвигом фазы).

Свойства периодические функции и их свойства - student2.ru периодических функций

С в о й с т в о 1.Линейная комбинация любого конечного числа периодические функции и их свойства - student2.ru периодических функций есть периодическая функция периода периодические функции и их свойства - student2.ru

С в о й с т в о 2.Для любой периодические функции и их свойства - student2.ru периодической на периодические функции и их свойства - student2.ru функции периодические функции и их свойства - student2.ru справедливо равенство:

периодические функции и их свойства - student2.ru , (3)

где периодические функции и их свойства - student2.ru целое число, такое, что периодические функции и их свойства - student2.ru .

С в о й с т в о 3.Пусть функция периодические функции и их свойства - student2.ru является в области периодические функции и их свойства - student2.ru периодической с периодом периодические функции и их свойства - student2.ru Тогда ее график на любых отрезках периодические функции и их свойства - student2.ru и периодические функции и их свойства - student2.ru где периодические функции и их свойства - student2.ru целиком лежащих в периодические функции и их свойства - student2.ru и имеющих длину периода периодические функции и их свойства - student2.ru связаны параллельным переносом на вектор периодические функции и их свойства - student2.ru

С в о й с т в о 4. Пусть функция периодические функции и их свойства - student2.ru является в области периодические функции и их свойства - student2.ru периодической с периодом периодические функции и их свойства - student2.ru Тогда справедливо равенство:

периодические функции и их свойства - student2.ru (4)

при любых числах периодические функции и их свойства - student2.ru и периодические функции и их свойства - student2.ru таких, что периодические функции и их свойства - student2.ru , периодические функции и их свойства - student2.ru

С в о й с т в о 5. Пусть функция периодические функции и их свойства - student2.ru является в области периодические функции и их свойства - student2.ru периодической с периодом периодические функции и их свойства - student2.ru Тогда справедливо равенство:

периодические функции и их свойства - student2.ru (5)

при любых числах периодические функции и их свойства - student2.ru и периодические функции и их свойства - student2.ru таких, что периодические функции и их свойства - student2.ru , периодические функции и их свойства - student2.ru

С л е д с т в и е.Пусть функция периодические функции и их свойства - student2.ru является в области периодические функции и их свойства - student2.ru периодической с периодом периодические функции и их свойства - student2.ru Тогда справедливы равенства:

периодические функции и их свойства - student2.ru периодические функции и их свойства - student2.ru

если периодические функции и их свойства - student2.ru , периодические функции и их свойства - student2.ru

2. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

О п р е д е л е н и е 3.Система функций

периодические функции и их свойства - student2.ru

называется ортогональной на отрезке периодические функции и их свойства - student2.ru если выполнены условия:

периодические функции и их свойства - student2.ru , периодические функции и их свойства - student2.ru

О п р е д е л е н и е 4.Система функций

периодические функции и их свойства - student2.ru

называется ортонормированной на отрезке периодические функции и их свойства - student2.ru если она ортогональная и выполнено условие: периодические функции и их свойства - student2.ru

Т е о р е м а 1. Система тригонометрических функций

периодические функции и их свойства - student2.ru (6)

является ортогональной на любом отрезке длины периодические функции и их свойства - student2.ru

З а м е ч а н и е 2.Система функций

периодические функции и их свойства - student2.ru (7)

где периодические функции и их свойства - student2.ru некоторое положительное число, является ортогональной на любом отрезке длины периодические функции и их свойства - student2.ru . При этом справедливы равенства:

периодические функции и их свойства - student2.ru

периодические функции и их свойства - student2.ru

периодические функции и их свойства - student2.ru

З а м е ч а н и е 3.Система функций

периодические функции и их свойства - student2.ru (8)

где периодические функции и их свойства - student2.ru некоторое положительное число, является ортонормированной на любом отрезке длины периодические функции и их свойства - student2.ru

3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

О п р е д е л е н и е 5.Функциональный ряд вида

периодические функции и их свойства - student2.ru

периодические функции и их свойства - student2.ru периодические функции и их свойства - student2.ru (9)

называется тригонометрическим рядом. Числа периодические функции и их свойства - student2.ru периодические функции и их свойства - student2.ru ,… называются коэффициентами тригонометрического ряда (9).

З а м е ч а н и е 4. Так как любая из функций периодические функции и их свойства - student2.ru , является периодические функции и их свойства - student2.ru периодической, то частичная сумма периодические функции и их свойства - student2.ru ряда (9) также будет периодические функции и их свойства - student2.ru периодической функцией. Следовательно, если ряд (9) сходится, то есть существует предел периодические функции и их свойства - student2.ru периодические функции и их свойства - student2.ru , то сумма периодические функции и их свойства - student2.ru ряда (9) является периодические функции и их свойства - student2.ru периодической функцией.

Т е о р е м а 1.Пусть тригонометрический ряд (9) сходится и его сумма равна периодические функции и их свойства - student2.ru то есть имеет место представление

периодические функции и их свойства - student2.ru , (10)

допускающее почленное интегрирование на отрезке периодические функции и их свойства - student2.ru . Тогда числа периодические функции и их свойства - student2.ru связаны с функцией периодические функции и их свойства - student2.ru по формулам:

периодические функции и их свойства - student2.ru периодические функции и их свойства - student2.ru (11)

периодические функции и их свойства - student2.ru (12)

Наши рекомендации