Построим показательную модель.

ŷ = а* bх

lg у = lg а + х* lg b

обозначим через У = lg у, А = lg а, В = lg b.

У = А + х*В. Значение параметров А и В получим из таблицы.

Таблица 1.3. Расчетные параметры показательной модели регрессии

y x У х2 Ух У2 ŷ ε= (yi -ŷ) ε2 |Аi %|
2,0828 149,96 4,338 116,561 4,43888 19,70365 3,6685
1,9243 100,06 3,7029 89,6706 -5,6706 32,15574 6,7507
2,0755 151,51 4,3079 118,1 0,90027 0,810491 0,75653
2,0682 153,05 4,2774 119,659 -2,65864 7,068386 2,2723
2,1106 160,4 4,4546 122,838 6,16152 37,96432 4,77637
2,1072 166,47 4,4403 127,767 0,23262 0,054113 0,18174
2,0086 108,46 4,0345 92,0535 9,94647 98,93224 9,75144
2,0453 139,08 4,1833 110,605 0,39545 0,156382 0,35626
2,0492 149,59 4,1993 118,1 -6,09973 37,20667 5,4462
1,9912 127,44 3,965 104,952 -6,95237 48,3355 7,0943
20,463 41,903 1120,31 0,69387 282,3875 41,0543
112,1 68,5 2,0463 4767,5 140,6 4,1903       4,10543

Рассчитывая параметры модели, получим:

В = 0,00569

А= У – В*х = 2,0463-0,00569*68,5 = 1,6565.

Уравнение запишется в виде: У = А + В*х.

Применив операцию потенцирования, получим:

ŷ = 101,6565 * (100,00569)х = 45,342*1,0132х.

Коэффициент (индекс) корреляции: r = 0,917,

т.е. связь между объемом капиталовложений и выпускаемой продукции можно считать тесной.

Коэффициент детерминации R2 = r2 = 0,9172 = 0,841, т.е. вариация У (объем выпуска продукции) на 84,1% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

F – критерий Фишера: F = Построим показательную модель. - student2.ru = Построим показательную модель. - student2.ru = 42,315. По таблице для a = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n–m–1 = 8 находим, что Fтабл. = 5,32. Т.к. 42,315>5,32, то уравнение регрессии в целом статистически значимо.

Критерий Стьюдента: tрасч = 6,505.

Табличное значение критерия Стьюдента равно: tтабл = (a = 0,05; k = n-2 = 8) = 2,3060.

Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл, ,т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Средняя относительная ошибка: Еотн = Построим показательную модель. - student2.ru ∑| Построим показательную модель. - student2.ru |* 100% = 4,11%. Таким образом, в среднем расчетные значения ŷ для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,11%.

4. Построим гиперболическую модель:ŷ = а + Построим показательную модель. - student2.ru .

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = Построим показательную модель. - student2.ru , тогда, ŷ = а + вХ.

Параметры а и в найдем с помощью табл. 1.4.

Таблица 1.4. Расчетные параметры гиперболической модели регрессии

T y x Х уХ Х2 ŷ ε= (yi -ŷ) ε2 |Аi %|
0,0139 1,68056 0,000193 119,485 1,515 2,295225 1,252
0,0192 1,61538 0,00037 80,472 3,528 12,44678 4,2
0,0137 1,63014 0,000188 120,874 -1,874 3,511876 1,575
0,0135 1,58108 0,000183 122,2263 -5,22629 27,31415 4,467
0,0132 1,69737 0,000173 124,824 4,176 17,43898 3,237
0,0127 1,62025 0,00016 128,473 -0,473 0,223729 0,37
0,0185 1,88889 0,000343 85,674 16,326 266,5383 16,006
0,0147 1,63235 0,000216 113,518 -2,518 6,340324 2,269
0,0137 1,53425 0,000188 120,874 -8,874 78,74788 7,923
0,0156 1,53125 0,000244 106,806 -8,806 77,54564 8,986
Сумма 0,1487 16,4115 0,002257 1123,226   492,4029 50,285
Ср.знач. 112,1 68,5 0,0149 1,64115 0,000226       5,0285

Рассчитаем неизвестные параметры:

в = -7303,258;

а = у – в*Х = 112,1 + 7303,258*0,0149 = 220,919.

ŷ = 220,919 - Построим показательную модель. - student2.ru

Коэффициент (индекс) корреляции: r = 0,851,

т.е. связь между объемом капиталовложений и выпускаемой продукции можно считать тесной, так как 0,851 > 0,7.

Коэффициент детерминации R2 = r2 = 0,8512 = 0,724, т.е. вариация У (объем выпуска продукции) на 72,4% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

F – критерий Фишера: F = Построим показательную модель. - student2.ru = Построим показательную модель. - student2.ru = 20,986. По таблице для a = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n–m–1 = 8 находим, что Fтабл. = 5,32. Т.к. 20,986 > 5,32, то уравнение регрессии в целом статистически значимо.

Критерий Стьюдента: tрасч = 4,582.

Табличное значение критерия Стьюдента равно: tтабл = (a = 0,05; k = n-2 = 8) = 2,3060.

Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл, ,т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Средняя относительная ошибка: Еотн = Построим показательную модель. - student2.ru ∑| Построим показательную модель. - student2.ru |* 100% = 5,03%. Т.е. в среднем расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 5,03%.

Рассчитав все параметры по каждой из моделей, сведем их параметры в табл. 1.5.

Таблица 1.5. Основные расчетные параметры моделей регрессии

Модель регрессии   Расчетные параметры
R2 F – критерий Фишера r Еотн
Линейная 0,834 40,193 0,913 4,2
Степенная 0,830 39,059 0,911 4,27
Показательная 0,841 42,315 0,917 4,11
Гиперболическая 0,724 20,986 0,851 5,03

Таким образом, наилучшей моделью является показательная модель (по максимуму критерия детерминации и остальным параметрам).

Задание 2.

Задача 2а и 2б.

Для каждого варианта даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Таблица 2.1. Исходные данные задачи

Номер варианта Номер урав- нения Задача 2а Задача 2б
переменные переменные
у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4 у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4
  -1 b13 а11 а12 а13 -1 b12 а11 а12 а13
b21 -1 b23 а23 а24 -1 b23 а21 а23 а24
b32 -1 а31 а33 а34 b32 -1 а31 а33 а34

Система взаимосвязанных уравнений, в которых каждая зависимая переменная уi представлена как функция остальных зависимых переменных ук (к ≠ i) и независимых переменных хi, носит название системы совместных, одновременных уравнений. Ее также называют структурной формой модели (СФМ).

СФМ имеет вид для варианта

2а: у1 = b13у3 + а11х1 + а12х212х3

у2 = b21у1 + b23у3 + а23х3 + а24х4

у3 = b32у2 + а31х1 + а33х3 + а34х4

2б: у1 = b12у2 + а11х1 + а12х2 + а13х3

у2 = b23у3 + а21х1 + а23х3 + а24х4

у3 = b32у2 + а31х1 + а33х3 + а34х4

СФМ считается идентифицируемой, если выполняется обязательное условие: число эндогенных переменных в i-том уравнении Н и число предопределённых переменных D, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, связаны соотношением D+1=H.

Кроме этого, должно выполнятся дополнительное условие:

для матрицы, составленной из эндогенных и экзогенных переменных, отсутствующих в рассматриваемом уравнении, но присутствующих в системе, определитель не равен нулю и ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного.

Проверим каждое уравнение системы 2а:

  у2 х4
-1 а24
b32 а34

В 1-м уравнении H = 2, D = 1 – необходимое условие выполнено, матрица имеет вид:

Определитель не равен нулю, а ранг матрицы равен 2, что значит достаточное условие выполнено.

  х1 х2
а11 а12
а31

Во втором уравнении H=3, D=2 – необходимое условие выполнено, матрица имеет вид

Определитель не равен нулю, а ранг матрицы равен 2, что значит достаточное условие выполнено.

  у1 х2
-1 а12

В третьем уравнении H=2, D=1 – необходимое условие выполнено, матрица имеет вид

Определитель не равен нулю, а ранг матрицы равен 2, что значит достаточное условие выполнено.

Таким образом, СФМ 2а идентифицируема.

Проверим каждое уравнение системы 2б:

  у3 х4
b23 а24
а34

В первом уравнении H=2, D=1 – необходимое условие выполнено, матрица имеет вид

Определитель не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Это значит, что достаточное условие выполнено.

  y1 х2
-1 а12

Во втором уравнении H=2, D=1 – необходимое условие выполнено, матрица имеет вид

Определитель равен нулю, значит достаточное условие не выполнено и уравнение не идентифицируемо.

  у1 х2
-1 а12

В третьем уравнении H=2, D=1 – необходимое условие выполнено, матрица имеет вид

Определитель равен нулю, значит достаточное условие не выполнено и уравнение не идентифицируемо. В целом СФМ 2б не идентифицируема.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

у1 = а01 + b12у2 + а11х1 + ε1,

у2 = а02 + b21у1 + а22х2 + ε2.

Таблица 2.2. Исходные данные задачи

Вариант n у1 у2 х1 х2
28,3 51,7
4,4 11,5
33,1 64,6
14,6 38,4
35,9 64,1
39,5 55,0

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется при точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на идентифицируемой модели с двумя эндогенными и экзогенными переменными.

у1 = а01 + b12у2 + а11х1 + ε1,

у2 = а02 + b21у1 + а22х2 + ε2.

Для построения модели информацию сведем в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Фактические данные для построения модели.

n у1 у2 х1 х2
28,3 51,7
4,4 11,5
33,1 64,6
14,6 38,4
35,9 64,1
39,5
сумма 155,8 285,3
Сред.знач 25,967 47,55 5,83 11,33

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

у1 = d11х1 + d12х2 +u1;

у2 = d21х1 + d22х2 + u2,

где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у = у – уср и х = х – хсрср и хср – средние значения). Преобразованные таким образом данные табл. 2.3 сведены в табл. 2.4, здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов dik. Переменные, означающие отклонение от средних значений, изображаются далее жирным шрифтом курсивом.

Таблица 2.4. Преобразованные данные для приведенной формы модели

n у1 у2 х1 х2 у11 х12 х12 у12 у21 у22 х22
2,333 4,15 1,17 0,667 2,722 1,361 0,778 1,5553 4,8417 2,7667 0,4444
-21,567 -36,1 -4,83 -10,33 104,2 23,36 49,94 222,86 174,24 372,52 106,78
7,133 17,05 4,17 2,667 29,72 17,36 11,11 19,021 71,042 45,467 7,1111
-11,367 -9,15 3,17 -7,333 -36 10,03 -23,2 83,358 -28,98 67,1 53,778
9,933 16,55 1,17 5,667 11,59 1,361 6,611 56,287 19,308 93,783 32,111
13,533 7,45 -4,83 8,667 -65,41 23,36 -41,9 117,29 -36,01 64,567 75,111
сумма -0,002 -0,05 46,87 76,83 3,333 500,37 204,45 646,2 275,33

Для нахождения коэффициентов d1k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

∑у1х1 = d11∑х12 + d12∑х1х2;

∑у1х2 = d11∑х1х2 + d12∑х22.

Подставляя рассчитанные в табл. 2.4 значения сумм, получим:

43,87 = 76,83d11 + 3,333d12

500,37 = 3,333d11 + 275,33d12

Решение этих уравнений дает значения d11 = 0,4924 и d12 = 1,8119.

Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:

у1 = 0,4956х1 + 1,8124х2 + u1.

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

∑у2х1 = d21∑х12 + d22∑х1х2;

∑у2х2 = d21∑х1х2 + d22∑х22.

Подставляя рассчитанные в таблице 7 значения сумм, получим:

204,45 = 76,83 d21 + 3,333 d22;

646,2 = 3,333 d21 + 275,33 d22.

Решение этих уравнений дает значения d21 =2,5606 и d22 = 2,3160.

Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:

у2 = 2,5606х1 + 2,3160х2 + u2.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:

х2 = (у2 – 2,5606х1)/2,3160.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у1 = 0,4956х1 + 1,8124(у2 – 2,5606х1)/2,3160 = 0,4956х1 + 0,7826у2 – 2,0038х1 =

= 0,7826у2 - 1,5082х1.

Таким образом, b12 = 0.7826; а11 = - 1,5082.

Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:

х1 = (у1 – 1,8124х2)/ 0,4956.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у2 = 2,3160х2 + 2,5606(у1 – 1,8124х2)/0,4956 = 2,3160х2 + 5,1667у1 – 9,3641х2 =

= 5,1667у1 - 7,0481х2.

Таким образом, имеем: b21 = 5,1667; а22 = -7,0481.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

А01 = у1,ср –b12у2, ср – а11х1, ср = 25,967 – 0,7826*47,55 + 1,5082*5,83 = -2,45;

А02 = у2, ср – b21у1, ср – а22х2, ср = 47,55 – 5,1667*25,967 + 7,0481*11,31 = -6,90.

Окончательный вид структурной модели:

у1 = а01 + b12у2 + а11х1 + ε1 = -2,45 + 0,7826у2 - 1,5082х1 + ε1

у2 = а02 + b21у1 + а22х2 + ε2 = -6,90 + 5,1667у1 - 7,0481х2 + ε2.

ЗАДАНИЕ 3

Принять управленческое решение по оценке стоимости офисов под бизнес.

Исходные данные для моделирования стоимости офиса

Цена офиса, Y Город области, X1 Число комнат в офисе, X2 Площадь офиса, X3
62,2
61,1 34,8
18,7
27,7
92,5
130,5
59,2
49,5
18,9
86,9 58,7
18,5
70,3 34,8

Наименование показателей

Обозначение Наименование показателя Единица измерения
Y цена квартиры тыс. долл.
X1 город области 1 – Тула
0 – Новомосковск
X2 число комнат в квартире  
X3 жилая площадь квартиры кв. м.

Задание по моделированию и оценке стоимости офиса в Тульской области.

  1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.
  2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
  3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов X.
  4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.
  5. Осуществите прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости Построим показательную модель. - student2.ru , если прогнозное значение фактора Y составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.
  6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
  7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, Построим показательную модель. - student2.ru и Построим показательную модель. - student2.ru коэффициентов.

РЕШЕНИЕ

Наши рекомендации