Операторы в евклидовых пространствах

Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают рядом специальных свойств, которые весьма важны для приложений линейной алгебры в различных предметных областях. Мы остановимся только на основных вопросах этой теории, в частности, будем изучать теорию линейных операторов исключительно в вещественных пространствах с ортонормированными базисами, а именно в пространстве . Причём операторы будем считать преобразованиями, то есть будем изучать операторы .

Сопряжённый оператор. Рассмотрим понятие оператора, сопряжённого к оператору , действующему в евклидовом пространстве .

Определение 9.1. Пусть – некоторый линейный оператор. Оператор называетсясопряжённым к оператору , если выполняется условие

. (9.1)

Теорема 9.1. Для любого линейного оператора существует единственный сопряжённый оператор , который также является линейным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть оператор существует, докажем его единственность. Для этого предположим, что этот оператор не единственный, то есть существуют, например, два оператора и , удовлетворяющих определению 9.1. Тогда по формуле (9.1) имеем:

, , (9.2)

откуда получаем

. (9.3)

В силу того, что в определении 9.1 (в формуле (9.1)) вектор произволен, положим в равенстве (9.3)

,

получим

.

Так как скалярное произведение удовлетворяет аксиоме невырожденности, из последнего равенства имеем

,

откуда в силу произвольности вектора следует, что и единственность сопряжённого оператора доказана.

2) Докажем линейность сопряжённого оператора. Используя определение (9.1) и свойства скалярного произведения, получаем:

, и

а) ;

б)

.

Из сравнения формул а) и б) следует линейность сопряжённого оператора , а именно:

.

3) Докажем теперь существование сопряжённого оператора. Зафиксируем в пространстве канонический базис , и запишем векторы и в виде их разложений по каноническому базису:

; . (9.4)

Рассмотрим вычисление левой и правой частей (9.1):

;

.

Сравнивая два последних равенства с учётом (9.1), получаем:

. (9.5)

Итак, если матрица оператора имеет вид

,

то матрица сопряжённого оператора имеет вид

. (9.6)

Из (9.6) следует, что матрица сопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе находится путем транспонирования матрицы оператора , что и доказывает существование сопряжённого оператора.

Докажем теорему о свойствах оператора, сопряжённого линейному оператору.

Теорема 9.2. Справедливы следующие свойства сопряжённого оператора : и

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; (9.7)

5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое соотношение. Пусть – произвольный линейный оператор. Для сопряжённого оператора сопряжённым будет оператор . Тогда:

.

Последнее равенство выполняется при любом векторе , то есть,

,

откуда следует доказательство первого свойства.

Докажем второе соотношение. Для этого рассмотрим следующую цепочку преобразований:

.

(9.8)

Из сравнения левой и правой частей равенства (9.8) следует доказательство второго свойства.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Самосопряжённые операторы. В приложениях большое значение имеют самосопряжённые операторы.

Определение 9.2. Линейный оператор называетсясамосопряжённым, если .

Из определения следует, что для самосопряжённого оператора справедливо соотношение

. (9.9)

Так как матрица сопряжённого оператора равна транспонированной матрице оператора , то у самосопряжённого оператора элементы матрицы удовлетворяют равенству , то естьэлементы матрицы самосопряжённого оператора, симметричные относительно главной диагонали, равны. Такая матрица называется симметрической. По этой причине самосопряжённые операторы часто называютсясимметрическими.

Самосопряжённые операторы обладают рядом свойств, которые нетрудно доказать, используя определение и свойства сопряжённого оператора.

1. Единичный оператор является самосопряжённым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,

.

2. Сумма самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если и , то

.

3. Композиция самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором в том и только в том случае, если эти операторы коммутативны.

Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что операторы называются коммутативными, если

,

или

,

где – нулевой оператор. Если , , то

,

что равно в том и только в том случае, если операторы коммутативны.

4. Оператор , обратный к невырожденному самосопряжённому оператору также самосопряжённый оператор.

Д о к а з а т е л ь с т во. Действительно, если , то

.

5. Если – самосопряжённый оператор, то произведение этого оператора на некоторое вещественное число является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т во. Из третьего свойства (9.7), имеем:

.

Теорема 9.3. Собственные векторы самосопряжённого оператора , действующего в пространстве , соответствующие попарно различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть : и , причём . Так как оператор самосопряжённый, то . Поэтому в левой и правой частях, соответственно, имеем:

;

.

Откуда в силу получаем: .

Для самосопряжённых операторов справедлива следующая важная теорема.

Теорема 9.4. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В общем случае доказательство теоремы достаточно громоздкое. По этой причине приведём доказательство для случая оператора . Итак, пусть дан некоторый линейный оператор с матрицей . Тогда характеристическое уравнение этого оператора имеет вид:

.

Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение:

.

Решение этого уравнения находим по известной формуле:

.

Дискриминант имеет вид:

.

Первое слагаемое, очевидно, всегда положительно, а второе положительно, так как . Поэтому корни характеристического уравнения вещественные и различные.

Теорема 9.5. Пусть – самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве можно выбрать ортонормированный базис

так, чтобы матрица оператора в этом базисе была диагональной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.4 все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные, а следовательно, по теореме 9.3 собственные векторы самосопряжённого оператора взаимно ортогональны. Систему собственных векторов, очевидно, можно нормировать. Но тогда эти векторы образуют базис пространства , в котором оператор является оператором простой структуры, то есть имеет диагональную матрицу.

Ортогональные операторы и их свойства, геометрическая интерпретация. Рассмотрим определение и свойства важного класса операторов, действующих в пространстве .

Определение 9.3. Оператор , действующий в пространстве , называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, то есть

. (9.10)

Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы (длины) векторов и углы между ними.

Лемма 9.1. Оператор является ортогональным в том и только в том случае, если .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Тогда

,

откуда имеем: . Полагая , получаем:

.

Пусть . Тогда имеем:

.

Очевидно, что ортогональный оператор невырожден, то есть, его матрица имеет обратную матрицу.

Теорема 9.6 (о свойствах ортогональных операторов). Ортогональные операторы обладают следующими свойствами:

1) единичный оператор является ортогональным;

2) композиция ортогональных операторов также является ортогональным оператором;

3) оператор, обратный ортогональному оператору, также является ортогональным;

4) если – ортогональный оператор, то оператор является ортогональным в том и только в том случае, если .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Доказательство этого свойства почти очевидно:

и

.

2. Пусть и – ортогональные операторы. Тогда:

.

3. Пусть ортогональный оператор. Рассмотрим :

.

4. Пусть – ортогональный оператор. Тогда

и

.

Теорема 9.7 (критерий ортогональности оператора). Оператор , действующий в пространстве , является ортогональным в том и только в том случае, если он переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Тогда он, сохраняя скалярное произведение, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Пусть теперь оператор переводит ортонормированный базис

в новый ортонормированный базис

.

Тогда

и

.

Откуда

.

Рассмотрим свойства матрицы ортогонального оператора.

Теорема 9.8. Система векторов-столбцов (строк) матрицы ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе

является ортонормированной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – некоторый ортогональный оператор и – некоторый ортонормированный базис. По теореме 9.9 система образов базисных векторов сама является ортонормированной, то есть . Поэтому для столбцов матрицы оператора

,

(как векторов арифметического пространства ) имеем:

. (9.11)

Аналогичное свойство справедливо и для строк матрицы :

. (9.12)

Теорема 9.9. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе удовлетворяет условию

. (9.13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Так как матрицы операторов и связаны соотношениями

,

откуда для матрицы оператора получаем (9.11).

Обратно, пусть выполнено соотношение (9.11). Тогда , откуда и следует, что оператор является ортогональным.

Определение 9.4. Матрица , для которой выполняется свойство(9.13), называется ортогональной.

Приведём некоторые теоремы о свойствах ортогонального оператора.

Теорема 9.10. Собственные значения ортогонального оператора действующий в пространстве , равны .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда

.

Так как по определению , то .

Теорема 9.11. Определитель ортогональной матрицы равен

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для ортогональной матрицы выполняется равенство . Поэтому . Тогда

.