Критерий Коши существования предела функции

Для того чтобы функция f, x Критерий Коши существования предела функции - student2.ru X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого Критерий Коши существования предела функции - student2.ru > 0 существовала такая окрестность U(x0) точки x0, что для любых x' Критерий Коши существования предела функции - student2.ru X Критерий Коши существования предела функции - student2.ru U(x0) и x" Критерий Коши существования предела функции - student2.ru X Критерий Коши существования предела функции - student2.ru U(x0) выполнялось бы неравенство | f(x") - f(x')| < Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

 

Предел ф-ции по направлению

Рассмотрим некоторую функцию Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , заданную во всех точках окрестности точки Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , кроме, быть может, точки Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ; пусть Критерий Коши существования предела функции - student2.ru - произвольный вектор длины единица Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru - скаляр. Точки вида Критерий Коши существования предела функции - student2.ru образуют выходящий из Критерий Коши существования предела функции - student2.ru луч в направлении вектора Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . Для каждого Критерий Коши существования предела функции - student2.ru можно рассматривать функцию

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru

от скалярной переменной Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , где Критерий Коши существования предела функции - student2.ru есть число, зависящее от Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . Предел этой функции (от одной переменной Критерий Коши существования предела функции - student2.ru )

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ,

если он существует, естественно назвать пределом Критерий Коши существования предела функции - student2.ru в точке Критерий Коши существования предела функции - student2.ru по направлению вектора Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Непрерывность

Функция Критерий Коши существования предела функции - student2.ru непрерывна в точке Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , если она опред. в некот. окр. точки Mo и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru

Вопрос 15 Частные производные. Дифференцируемость ф-ций неск. переменных, осн. теоремы, необ. и достат. условие дифф-ти, дифф-ие сложной ф-ции, инвариантность формы 1-ого дифф-ла.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , где А1, А2, …, Аm – некоторые не зависящие от ∆х1, ∆х2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm – бесконечно малые при Критерий Коши существования предела функции - student2.ru функции, равные 0 при ∆х1=∆х2=…∆хm=0.

Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен:

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru

Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru

Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у): dz= fx(x,y)dx+ fy (x,y)dy

Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f ’x(x,y), f ’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru Критерий Коши существования предела функции - student2.ru

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru Критерий Коши существования предела функции - student2.ru

Необх. и дост. условие дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной Критерий Коши существования предела функции - student2.ru называется дифференцируемой в точке Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , если приращение функции представимо в виде

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ,

где Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ― некоторое действительное число, зависящее от Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , а Критерий Коши существования предела функции - student2.ru -бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , при Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции Критерий Коши существования предела функции - student2.ru в точке Критерий Коши существования предела функции - student2.ru является существование производной

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

Определение.Функция Критерий Коши существования предела функции - student2.ru называется дифференцируемой в точке Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ,(1)

Дифференцирование сложной ф-ции

Пусть задана функция двух переменных Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и пусть переменные Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru сами являются непрерывными функциями независимых переменных Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru : Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . (*)

Таким образом,

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ,

т.е. Критерий Коши существования предела функции - student2.ru является сложной функцией переменных Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Сначала найдем производную Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . Для этого дадим аргументу Критерий Коши существования предела функции - student2.ru приращение Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , сохраняя значение Критерий Коши существования предела функции - student2.ru неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Но если Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru получают приращения Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , то функция Критерий Коши существования предела функции - student2.ru получит приращение Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , определяемое формулой:

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Разделим обе части последнего равенства на Критерий Коши существования предела функции - student2.ru :

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Если Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , то Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru (в силу непрерывности функций Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ). Но тогда Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , получим

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ,

и, следовательно,

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . (1)

Аналогично находим производную Критерий Коши существования предела функции - student2.ru по переменной Критерий Коши существования предела функции - student2.ru :

Критерий Коши существования предела функции - student2.ru . (2)

Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам ( Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ) на частные производные этих аргументов ( Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ) по соответствующей независимой переменной ( Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ), где Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru — некоторые постоянные, зависящие от Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru ; Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru — функции от Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , стремящиеся к нулю при Критерий Коши существования предела функции - student2.ru и Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , то есть Критерий Коши существования предела функции - student2.ru Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции Критерий Коши существования предела функции - student2.ru в точке Критерий Коши существования предела функции - student2.ru .

Определение.Функцию Критерий Коши существования предела функции - student2.ru , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Инвариантность формы 1-ого диф-ла

Если xi(t) непрерывно диф-ма на t= t0(t01+ t02 +…+ t0m), а y=f(x); x=(x1,x2,…xn) непрерыв.. диф-ма в т. x0=(x01,x02,…x0n), xoi (to), то ф-ция y=f(x(t)) диф-ма в точке tо и справедливо равенство Критерий Коши существования предела функции - student2.ru



Наши рекомендации