Устойчивость и качество систем управления

Управляемость и наблюдаемость. Задача управления системой состоит в определении такой функции u(t), при которой осуществляется целенаправленное движение (изменение состояния) системы. Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ на этот вопрос дают два свойства системы – управляемость и наблюдаемость.

Линейная система является управляемой, если она может быть переведена из любого начального состояния y(0) в любое конечное состояние y(T) за конечное время Т.

Линейная система является наблюдаемой, если любое ее состояние y(0) можно восстановить по значениям u(t) и y(t), измеренным на интервале 0 > t > T.

Устойчивость систем. Понятие устойчивости системы связано со способностью системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия.

При возмущениях в системе возникают колебания Y(t), которые могут быть затухающими, незатухающими, стремящимися к положению равновесия, или уходящими от него (неустойчивые).

Систему называют устойчивой, если будучи выведенной из состояния равновесия она возвращается (с допустимой погрешностью) к прежнему положению после снятия возмущающего воздействия. Простейшая аналогия устойчивости – шарик внутри вогнутой поверхности, который всегда возвращается в самое нижнее положение на поверхности независимо от того, выведен ли он из этого положения движением самой поверхности или импульсным воздействием на шарик. Шарик на выпуклой поверхности – пример неустойчивой системы.

При определении устойчивости системы рассматривается ее свободное поведение при равенстве нулю возмущающих входных воздействий. Состояние системы определяется однородным дифференциальным уравнением замкнутой системы:

a_n y⁽ⁿ⁾ + a_n-1 y^(n-1) + … +a₁ y' + a₀ = 0.

Характеристическое уравнение:

a_n p⁽ⁿ⁾ + a_n-1 p^(n-1) + … +a₁ p' + a₀ = 0. (2.6.1)

Общее решение: Y(t) = C_k exp(p_kt), если p_k – действительные корни.

Положение А.М. Ляпунова для определения устойчивости систем по корням характеристического уравнения:

1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными действительными числами, то система устойчива.

2. Если хотя бы один корень имеет положительную часть, то система неустойчива.

3. При наличии нулевых или чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда (даже качественно) определяется её линеаризованным уравнением.

Точность работы систем. Устойчивость является необходимым, но не достаточным условием для реализации систем. Одна из основных характеристик качества регулирования – это точность, под которой понимается величина ошибки регулирования в различных установившихся режимах.

В системах стабилизации таким режимом является установившееся состояние (положение равновесия), а точность системы характеризуется величиной статической ошибки e_ст отклонения от заданного состоянии при влиянии дестабилизирующих воздействий. Самым простым способом изучения точности является использование передаточной функции по ошибке (мера малости ошибки слежения):

W_e(p) = 1/(1+W(p)), (2.6.2)

и меры точности воспроизведения задающего воздействия:

W_з(p) = W(p)/(1+W(p)). (2.6.3)

Для абсолютно точной системы W_e(p) = 0, W_з(p) = 1. Реальные частотные характеристики систем отличаются от идеальных без превышения заданного значения статистической ошибки в некоторой полосе пропускания от w_н до w_в. Соответственно, для повышения точности необходимо обеспечивать выполнение условий: W_e(p) → 0, W_з(p) → 1.

Если допустимая ошибка мала, необходимо применять регуляторы с интегральной составляющей в законе регулирования, обеспечивающие регулирование без статической ошибки. Следует учитывать также, что ошибка слежения зависит от вида задающего воздействия и связана со всеми производными входного сигнала. При отсутствии в системе интеграторов линейно возрастающие и степенные воздействия могут приводить к неограниченному нарастанию ошибок слежения.

Для систем с обратной связью передаточная функция при размыкании системы (разрыве обратной связи) определяется выражением:

W_pc(p) = K(b₀ p^m + b₁ p^m-1 +…+1)/ (a₀ p^m + a₁ p^m-1 +…+1), (2.6.4)

где К- коэффициент усиления (K=W_pc(0)). Отсюда следует, что увеличение К разомкнутой системы является одним из основных способов повышения точности систем. Однако это не означает, что таким способом можно реализовать любую желаемую точность, так как при чрезмерном увеличении К возможна потеря устойчивости замкнутой системы.

Качество работы систем. Устойчивость системы является необходимым, но недостаточным условием ее работоспособности. Устойчивая система может оказаться недостаточно точной при отработке различных воздействий; недостаточно быстродействующей при выходе на заданную величину, и т.п. При исследовании систем приходится решать задачи обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса. Качество работы системы в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительными значениями регулируемой величины.

Для определения качества динамической системы используются критерии качества, которые можно разбить на 4-е группы.

К первой группе относятся критерии, использующие величину ошибки в различных типовых режимах. Эту группу называют критериями точности динамических систем регулирования.

К второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости, то есть критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы уст­ойчивости находится система регулирования.

Наиболее опасной для динамической системы является колебательная граница устойчивости. Это определяется тем, что стремление повысить общий коэффициент усиления в системе, как правило, приводит к приближению системы именно к колебательной границе устойчивости и затем – к возникновению незатухающих автоколебаний.

Третья группа критериев качества определяет быстродейст­вие системы регулирования. Под быстродействием понимается быстрота реагирования системы регулирования на появление управляющих и возмущающих воздействий. Наиболее просто быстродействие может оцениваться по времени затухания переходного процесса системы.

К четвертой группе критериев качества относятся интегральные критерии, дающие оценку некоторых обобщенных свойств, которые могут учитывать точность, запас устойчивости и быстродействие одновременно.

Рис. 2.6.1.

Интегральные показатели качества системы определяются, как правило, непосредственно по кривой переходного процесса (после включения системы или по реакции на единичную входную ступеньку), условный пример которого приведен на рис. 2.6.1, где: s – динамические отклонения управляемой величины от задания Y_o (установившегося режима), t_p – время регулирования, т.е. продолжительность переходного процесса (характеризует быстродействие системы).

Степень затухания:

y = ( s₁ – s₃)/ s₁.

Коэффициент перерегулирования (для переходных процессов с колебательным режимом):

h = 100(s₂ / s₁) %.

Интегральный критерий качества:

I = | s(t)| dt.

Интегральный квадратичный критерий качества:

I = s²(t) dt.

Чем меньше оценка значений коэффициента перерегулирования и критерия качества, тем лучше качество переходного процесса системы.

литература

2. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. - М.: Изд. МГГУ, 2002. - 472 с.

7. Туманов М.П. Теория автоматического управления: Лекции. URL: http://elib.ispu.ru/library/lessons/Tihonov_2/index.htm.

8. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие. – МГИЭМ. М., 2005, 82 с. URL: http://window.edu.ru/window_catalog/files/r24738/5.pdf.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1975.

13. Бирюков С.В. Основные понятия теории автоматического управления. - URL: http://bookz.ru/rar/bookz/teacher/tau_ucheb.rar